2004年湖北卷理

1. 与直线 $2x-y+4=0$ 平行的抛物线 $y=x^{2}$ 的切线方程是（　　）

2. 复数 $\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{1+\sqrt{3}i}\right)^{6}$ 的值是（　　）

3. 已知 $f\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right) = \dfrac{1-x^2}{1+x^2}$，则 $f(x)$ 的解析式可取为（　　）

4. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为非零的平面向量.甲：$\vec{a}\cdot\vec{b}= \vec{a}\cdot\vec{c}$，乙：$\vec{b}= \vec{c}$， 则（　　）

5. 若 $0 < a < b < 1$，则下列不等式① $a+b<ab$；② $|a|>|b|$；③ $a<b$；④ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}>2$ 中，正确的不等式有（　　）

6. 已知椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+ \dfrac{y^2}{5}= 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}、F_{2}$, 点 $P$ 在椭圆上, 若 $P、F_{1}、F_{2}$ 是一个直角三角形的三个顶点,则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为（　　）

7. 函数 $f(x) = a^{x}+\log_{a}(x+1)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值之和为 $a$, 则 $a$ 的值为（　　）

8. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}= a\cdot 2^{n-1}- \dfrac{n-1}{2}- b\cdot 2^{-(n+1)}(n=1,2,\cdots)$，其中 $a、b$ 是非零常数,则存在数列 $\{x_{n}\}、\{y_{n}\}$ 使得（　　）

9. 函数 $f(x)=ax^{3}+x+1$ 有极值的充要条件是（　　）

10. 设集合 $P = \{m | -1<m<0\}, Q = \{m\in\mathbf{R}| mx^{2}+4mx-4<0\text{ 对任意实数 }x\text{ 恒成立}\}$,则下列关系中成立的是（　　）

11. 已知平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 所成的二面角为 $80^{\circ}$, $P$ 为 $\alpha, \beta$ 外一定点,过点 $P$ 的一条直线与 $\alpha, \beta$ 所成的角都是 $30^{\circ}$, 则这样的直线有且仅有（　　）

12. 设 $y=f(t)$ 是某港口水的深度 $y$ (米) 关于时间 $t$ (时) 的函数,其中 $0\leq t\leq 24$. 下表是该港口某一天从 $0$ 时至 $24$ 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系:

经长期观察,函数 $y=f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y=k+A\sin(\omega t+\varphi)$ 的图象. 下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（　　）

13. 设随机变量 $\xi$ 的概率分布为 $P(\xi=k) = \dfrac{a}{5^k}$, $a$ 为常数, $k=1,2,\dots$, 则 $a=$ $\underline{\qquad}$.

14. 将标号为 $1,2,\dots,10$ 的 $10$ 个球放入标号为 $1,2,\dots,10$ 的 $10$ 个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有 $3$ 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 $\underline{\qquad}$ 种. (以数字作答)

15. 设 $A、B$ 为两个集合.下列四个命题:

① $A \subseteq B \Leftrightarrow \text{对任意 }x \in A, \text{有 }x \notin B$;

② $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset$;

③ $A \subseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$;

④ $A \subseteq B \Leftrightarrow \text{存在 }x \in A, \text{使得 }x \notin B$.

其中真命题的序号是 $\underline{\qquad}. ($把符合要求的命题序号都填上)

16. 某日中午 $12$ 时整,甲船自 $A$ 处以 $16$ km/h 的速度向正东行驶,乙船自 $A$ 的正北 $18$ km 处以 $24$ km/h 的速度向正南行驶,则当日 $12$ 时 $30$ 分时两船之距离对时间的变化率是 $\underline{\qquad} km/h$.

17. 已知 $6\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^{2}\alpha = 0, \alpha\in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, 求 $\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的值.

18. 如图,在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,点 $E$ 是棱 $BC$ 的中点,点 $F$ 是棱 $CD$ 上的动点.

(1) 试确定点 $F$ 的位置,使得 $D_{1}E \perp$ 平面 $AB_{1}F$;

(2) 当 $D_{1}E \perp$ 平面 $AB_{1}F$ 时,求二面角 $C_{1}-EF-A$ 的大小.(结果用反三角函数值表示)

19. 如图,在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中,已知 $BC=a$, 若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点,问 $PQ$ 与 $BC$ 的夹角 $\theta$ 取何值时 $BP\cdot CQ$ 的值最大?并求出这个最大值.

20. 直线 $l: y=kx+1$ 与双曲线 $C: 2x^{2}-y^{2}=1$ 的右支交于不同的两点 $A、B$.

(1) 求实数 $k$ 的取值范围;

(2) 是否存在实数 $k$, 使得以线段 $AB$ 为直径的圆经过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$?若存在,求出 $k$ 的值,若不存在,说明理由.