1981年全国卷文

1. 设A 表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A = $\{$有理数$\}$,B = $\{$无理数$\}$,试写出: (1) A$\cup$B; (2) A$\cap$B.

2. 化简: $\frac{\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}}{x}\cdot \frac{\sqrt{\frac{(a^{2}-b^{2})^{4}}{2}}}{\sqrt[4]{3(a+b)^{2}}}\div \frac{\sqrt[6]{a^{2}(b-a)^{3}}}{2}$.

3. 在A、B、C、D四位候选人中,

(1) 如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;

(2) 如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

4. 求函数 $f(x) = \sin x + \cos x$ 在区间$(-\pi, \pi)$上的最大值.

5. 写出正弦定理,并对钝角三角形的情况加以证明.

6. 已知正方形ABCD的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B和D的坐标.

7. 设1980年底我国人口以10亿计算.

(1) 如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2) 要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

8. ABCD-$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$为一正四棱柱,过A、C、$B_{1}$三点作一截面,求证:截面 ACB$_{1}$对角面DBB$_{1}$D$_{1}$.

9.

(1) 设抛物线 $y^{2} = 4x$ 截直线$y=2x+k$所得的弦长为$3\sqrt{5}$,求$k$的值.

(2) 以本题

(1) 得到的弦为底边,以$x$轴上的点P为顶点做成三角形,当这三角形的面积为9时,求P的坐标.