1977年福建卷理

1. (1) 计算: $\displaystyle 5-3\times \left[\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}+1031 \times (0.25^{-2}-2^{2})\right] \div 9^{0}$.

(2) $y = \dfrac{\cos 160^\circ \cos 170^\circ}{\tan 155^\circ}$ 的值是正的还是负的? 为什么?

(3) 求函数 $y=\dfrac{\lg(2-x)}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域.

(4) 如图,在梯形 $ABCD$ 中, $DM = MP = PA$, $MN \parallel PQ \parallel AB$, $DC = 2$ cm, $AB = 3.5$ cm,求 $MN$ 和 $PQ$ 的长.

(5) 已知 $\lg3 = 0.4771$, $\lg x = -3.5229$, 求 $x$.

(6) 求 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x-1}{x^2-3x+2}$.

(7) 解方程: $\sqrt{4x+1}-2x+1=0$.

(8) 化简: $\dfrac{a^{2n+1}-6a^{2n}+9a^{2n-1}}{a^{n+1}-4a^n+3a^{n-1}}$.

2. (1) 解不等式: $\dfrac{x^2-x-6}{x^2+2x+2}< 0$.

(2) 证明: $\dfrac{2\cos\theta\sin 2\theta}{2\cos\theta+\sin 2\theta}= \tan^{2}\left(\dfrac{90^\circ - \theta}{2}\right)$.

(3) 某中学革命师生自己动手油漆一个直径为 $1.2$ 米的地球仪,如果每平方米面积需要油漆 $150$ 克,问共需油漆多少克?(答案保留整数)

(4) 某农机厂开展“工业学大庆”运动,在十月份生产拖拉机 $1000$ 台,这样,一月至十月的产量恰好完成全年生产任务,工人同志为了加速农业机械化,计划在年底前再生产 $2310$ 台,求十一月、十二月份平均每月增长率.

3. 在半径为 $R$ 的圆内接正六边形内,依次连结各边的中点,得一正六边形,又在这一正六边形内,再依次连结各边的中点,又得一正六边形,这样无限地继续下去,求:

(1) 前几个正六边形的周长之和 $S_{n}$;

(2) 所有这些正六边形的周长之和 $S$.

4. 动点 $P(x,y)$ 到两定点 $A(-3,0)$ 和 $B(3,0)$ 的距离的比等于 $2$,求动点 $P$ 的轨迹方程,并说明这轨迹是什么图形.

5. 某大队在农田基本建设的规划中,要测定被障碍物隔开的两点 $A, P$ 之间的距离,他们土法上马,在障碍物的两侧,选取两点 $B$ 和 $C$(如图),测得 $AB = AC = 50$ m, $\angle BAC = 60^{\circ}$, $\angle ABP = 120^{\circ}$, $\angle ACP = 135^{\circ}$,求 $A$ 和 $P$ 之间的距离.(答案可用最简根式表示)

6. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{24a}- \dfrac{y^2}{16\cot\alpha}= 1$ ($\alpha$ 为锐角) 和圆 $(x-m)^{2}+y^{2}=r^{2}$ 相切于点 $A(4\sqrt{3},4)$, 求 $a, m, r$ 的值.

7. 设数列 $1,2,4,\ldots$ 前 $n$ 项和是 $S_{n}= a+bn+cn^{2}+dn^{3}$,求这数列的通项 $a_{n}$ 的公式,并确定 $a, b, c, d$ 的值.

8. 求函数 $y = e^{2x}\sin \left(5x+\dfrac{\pi}{7}\right)$ 的导数.

9. 求定积分: $\int_{0}^{2}(xe^{x}+x^{2}e^{x}) \mathrm{d}x$.

10. 画出下面 $V$ 形铁块的三视图(只要画草图)