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1992年三南卷

1992 年

共 28 道题

1992年三南卷
—(0)

1. 设函数 z=i2+3iz = i^{2} + \sqrt{3}i, 那么 arg⁡z\arg z 是（　　）

A. π\pi

B. 2π3\displaystyle \frac{2\pi}{3}

C. 43π\displaystyle \frac{4}{3}\pi

D. −π3\displaystyle -\frac{\pi}{3}

1992年三南卷
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2. 如果等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的体积是 16π cm316\pi \text{ cm}^{3}, 那么它的底面半径等于（　　）

A. 423 cm4\sqrt[3]{2}\text{ cm}

B. 4 cm4 \text{ cm}

C. 223 cm2\sqrt[3]{2}\text{ cm}

D. 2 cm2 \text{ cm}

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3. arcsin⁡32−arccos⁡(−12)−arctan⁡(−3)\displaystyle \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}- \arccos(-\frac{1}{2}) - \arctan(-\sqrt{3}) 的值等于（　　）

A. 1

B. 0

C. −2π5\displaystyle -\frac{2\pi}{5}

D. −6π5\displaystyle -\frac{6\pi}{5}

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4. 函数 y=log⁡2(1−x)y = \log_{2}(1-x) (x<1x < 1) 的反函数是（　　）

A. y=1+2xy = 1+2^{x} (x∈Rx \in R)

B. y=1−2−xy = 1-2^{-x} (x∈Rx \in R)

C. y=1+2−xy = 1+2^{-x} (x∈Rx \in R)

D. y=1−2xy = 1-2^{x} (x∈Rx \in R)

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5. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中, 如果 AB=BC=aAB = BC = a, AA1=2aAA_{1} = 2a, 那么点 AA 到直线 A1CA_{1}C 的距离等于（　　）

A. 263a\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}a

B. 263a\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}a

C. 233a\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}a

D. 33a\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}a

1992年三南卷
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6. 函数 y=sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x−32\displaystyle y = \sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2} 的最小正周期等于（　　）

A. π\pi

B. 2π2\pi

C. π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

D. 3π2\displaystyle \frac{3\pi}{2}

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7. 有一个椭圆, 它的极坐标方程是（　　）

A. ρ=53−2cos⁡θ\displaystyle \rho = \frac{5}{\sqrt{3}-2 \cos \theta}

B. ρ=53−3cos⁡θ\displaystyle \rho = \frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{3} \cos \theta}

C. ρ=52−3cos⁡θ\displaystyle \rho = \frac{5}{2-\sqrt{3} \cos \theta}

D. ρ=52−3cos⁡θ\displaystyle \rho = \frac{5}{2-\sqrt{3} \cos \theta}

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8. 不等式 ∣x−2−3∣<1|\sqrt{x-2}-3|<1 的解集是（　　）

A. {x∣5<x<16}\{x|5<x<16\}

B. {x∣6<x<18}\{x|6<x<18\}

C. {x∣7<x<20}\{x|7<x<20\}

D. {x∣8<x<22}\{x|8<x<22\}

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9. 设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差是 dd, 如果它的前 nn 项和 Sn=−n2S_{n}=-n^{2}, 那么（　　）

A. an=2n−1,d=−2a_{n} = 2n-1, d = -2

B. an=2n−1,d=2a_{n} = 2n - 1, d = 2

C. an=−2n+1,d=−2a_{n} = -2n + 1, d = -2

D. an=−2n+1,d=2a_{n}=-2n + 1, d = 2

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10. 方程 cos⁡2x=3cos⁡x+1\cos 2x=3\cos x+1 的解集是（　　）

A. {x∣x=2kπ,k∈Z}\{x | x = 2k\pi, k\in Z\}

B. {x∣x=kπ,k∈Z}\{x | x = k\pi, k\in Z\}

C. {x∣x=kπ±2π3,k∈Z}\displaystyle \{x | x = k\pi \pm \frac{2\pi}{3}, k\in Z\}

D. {x∣x=2kπ±2π3,k∈Z}\displaystyle \{x | x = 2k\pi \pm \frac{2\pi}{3}, k\in Z\}

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11. 有一条半径是 22 的弧, 其度数是 60∘60^{\circ}, 它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠, 那么这个球冠的面积是（　　）

A. 4(2−3)π4(2 - \sqrt{3})\pi

B. 2(2−3π)2(2 - \sqrt{3}\pi)

C. 43π4\sqrt{3}\pi

D. 23π2\sqrt{3}\pi

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12. 某小组共有 1010 名学生, 其中女生 33 名. 现选举 22 名代表, 至少有 11 名女生当选的不同的选法共有（　　）

A. 2727 种

B. 4848 种

C. 2121 种

D. 2424 种

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13. 设全集 U=RU = R, 集合 M={x∣x2>2}M = \{x| \sqrt{x^{2}}> 2\}, N={x∣log⁡27>log⁡37}N = \{x | \log_{2} 7 > \log_{3} 7\}, 那么 M∩N=M \cap N =（　　）

A. {x∣x<−2}\{x | x < -2\}

B. {x∣x<−2 或 x≥3}\{x|x<-2 \text{ 或 }x \ge 3\}

C. {x∣x≥3}\{x | x \ge 3\}

D. {x∣−2<x<3}\{x|-2 < x < 3\}

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14. 设 {an}\{a_{n}\} 是由正数组成的等比数列, 公比 q=2q=2, 且 a1a2a3⋯a30=230a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{30}= 2^{30}, 那么 a1a2a3⋯a30a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{30} 等于（　　）

A. 2102^{10}

B. 2202^{20}

C. 2162^{16}

D. 2152^{15}

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15. 设 △ABC\triangle ABC 不是直角三角形, AA 和 BB 是它的两个内角, 那么（　　）

A. “A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A < \tan B”的充分条件, 但不是必要条件

B. “A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A < \tan B”的必要条件, 但不是充分条件

C. “A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A < \tan B”的充分必要条件

D. “A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A < \tan B”的充分条件, 也不是必要条件

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16. 对于定义域是 RR 的任何奇函数 f(x)f(x), 都有（　　）

A. f(x)f(−x)≥0f(x)f(-x) \ge 0 (x∈Rx \in R)

B. f(x)f(−x)≤0f(x)f(-x) \le 0 (x∈Rx \in R)

C. f(x)f(−x)<0f(x)f(-x) < 0 (x∈Rx \in R)

D. f(x)f(−x)>0f(x)f(-x) > 0 (x∈Rx \in R)

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17. 如果双曲线的两条渐近线的方程是 y=±43x\displaystyle y = \pm \frac{4}{3}x, 焦点坐标是 (−26,0)(-\sqrt{26},0) 和 (26,0)(\sqrt{26},0), 那么它的两条准线之间的距离是（　　）

A. 82613\displaystyle \frac{8\sqrt{26}}{13}

B. 42613\displaystyle \frac{4\sqrt{26}}{13}

C. 182613\displaystyle \frac{18\sqrt{26}}{13}

D. 92613\displaystyle \frac{9\sqrt{26}}{13}

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18. tan⁡(arctan⁡813−arctan⁡718)\displaystyle \tan(\arctan \frac{8}{13}- \arctan \frac{7}{18})

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19. 设直线的参数方程是 {x=12+t,y=32+t,\displaystyle \begin{cases}x = \frac{1}{2}+t, \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2}+t,\end{cases} 那么它的斜截式方程是

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20. 如果三角形的顶点分别是 O(0,0),A(0,15),B(−8,0)O(0,0), A(0,15), B(-8,0), 那么它的内切圆方程是

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21. lim⁡n→∞[11⋅4+14⋅7+17⋅10+⋯+1(3n−2)(3n+1)]\lim\limits_{n\to\infty}[\frac{1}{1\cdot 4}+ \frac{1}{4\cdot 7}+ \frac{1}{7\cdot 10}+ \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}]

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22. 919929^{1992} 除以 100100 的余数是

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23. 已知三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积是 VV, 棱 BCBC 的长是 aa, 面 ABCABC 和面 DBCDBC 的面积分别是 S1S_{1} 和 S2S_{2}. 设面 ABCABC 和面 DBCDBC 所成的二面角是 α\alpha, 那么 sin⁡α=\sin \alpha =

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24. 已知关于 xx 的方程 2a2x−7a−x+3=02a^{2x}- 7a^{-x}+ 3 = 0 有一个根是 22, 求 aa 的值和方程其余的根.

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25. 已知平面 α\alpha 和不在这个平面内的直线 aa 都垂直于平面 β\beta. 求证: a//αa // \alpha.

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26. 证明不等式: 1+12+13+⋯+1n<2n\displaystyle 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{3}}+ \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n} (n∈N+n \in N^{+}).

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27. 设抛物线经过两点 (−1,6)(-1,6) 和 (−1,−2)(-1,-2) 对称轴与 xx 轴平行, 开口向右, 直线 y=2x+7y=2x+7 被抛物线截得的线段的长是 4104\sqrt{10}, 求抛物线的方程.

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—(0)

28. 求同时满足下列两个条件的所有复数 zz:

① ∣z+10z∣\displaystyle |z+\frac{10}{z}| 是实数, 且 1<∣z+10z∣<6\displaystyle 1<|z+\frac{10}{z}|<6;

② zz 的实部和虚部都是整数.

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