1984年全国卷文科

1. 数集 $X = \{(2n+1)\pi, n\text{是整数}\}$ 与数集 $\displaystyle Y = \{(4k\pm 1)\frac{\pi}{2}, k\text{是整数}\}$ 之间的关系是（　　）

2. 函数 $y = f(x)$ 与它的反函数 $y= f^{-1}(x)$ 的图象（　　）

3. 复数 $\displaystyle \frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 的三角形式是（　　）

4. 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（　　）

5. 方程 $x^{2}-79x+1=0$ 的两根可分别作为（　　）

6. 已知函数 $\log_{0.5}(2x-3)>0$, 求 $x$ 的取值范围.

7. 已知圆柱的侧面展开图是边长为 $2$ 与 $4$ 的矩形,求圆柱的体积.

8. 已知实数 $m$ 满足 $2x^{2}-(2-1)x + m - i=0$,求 $m$ 及 $x$ 的值.

9. 求 $\displaystyle \lim\limits \frac{(n^{2}+1)+(n^{2}+2)+\ldots+(n^{2}+n)}{n(n-1)(n-2)}$ 的值.

10. 要排一张有 $6$ 个歌唱节目和 $4$ 个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).

11. 画出方程 $y^{2} = -4x$ 的曲线.

12. 画出函数 $\displaystyle y = \frac{1}{(x + 1)^{2}}$ 的图象.

13. 已知等差数列 $a, b, c$ 中的三个数都是正数,且公差不为零,求证它们的倒数所组成的数列 $\displaystyle \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ 不可能成等差数列.

14. 把 $1 - \sin^{2} 2\alpha - \sin^{2} \beta - \cos^{4} \alpha$ 化成三角函数的积的形式 (要求结果最简).

15. 如图,经过正三棱柱底面一边 $AB$,作与底面成 $30°$ 角的平面,已知截面三角形 $ABD$ 的面积为 $32\text{ cm}^{2}$,求截得的三棱锥 $D-ABC$ 的体积.

16. 某工厂 $1983$ 年生产某种产品 $2$ 万件,计划从 $1984$ 年开始,每年的产量比上一年增长 $20\%$.问从哪一年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过 $12$ 万件 (已知 $\lg 2=0.3010, \lg 3 = 0.4771$).

17. 已知两个椭圆的方程分别是 $C_{1}: x^{2}+9y^{2}-45=0$, $C_{2}: x^{2}+9y^{2}-6x-27=0$.

(1) 求这两个椭圆的中心、焦点的坐标;

(2) 求经过这两个椭圆的交点且与直线 $x-2y+11=0$ 相切的圆的方程.