1988年全国卷文科数学

1. $i^{4} (1-i)$ 的值等于（　　）

2. 圆 $M$ 的方程为 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2} = 2$, 直线的方程为 $x+y-3=0$, 点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$, 那么（　　）

3. 集合 $\{1,2,3\}$ 的子集共有（　　）

4. 函数 $y = a^{x}$ ($0 < a < 1$) 的图象是

📐 [图：四个坐标系中指数函数 $y=a^{x}$ 的图像，其中只有B是下降的]（　　）

5. 已知椭圆方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{20}+ \frac{y^{2}}{5}= 1$, 那么它的焦距是（　　）

6. 在复平面内, 与复数 $z = -1-i$ 的共轭复数对应的点位于（　　）

7. 在 $(x-\sqrt{3})^{10}$ 的展开式中, $x^{6}$ 的系数是（　　）

8. 函数 $\displaystyle y = 3\cos (\frac{x}{2}- \frac{\pi}{4})$ 的最小正周期是（　　）

9. $\displaystyle \sin (-\frac{19\pi}{6})$ 的值等于（　　）

10. 直线 $x+ay = 2a+2$ 与 $ax+y=a+1$ 平行 (不重合) 的充要条件是（　　）

11. 函数 $\displaystyle y = \frac{x-2}{2x-1}$ ($\displaystyle x \in R, x \neq \frac{1}{2}$) 的反函数是（　　）

12. 如图, 正四棱台中, $A'D'$ 所在的直线与 $BB'$ 所在的直线是

📐 [图：正四棱台 ABCD-A'B'C'D']（　　）

13. 函数 $\displaystyle y = \sin(x+\frac{\pi}{3})$ 在闭区间（　　）

14. 假设在 $200$ 件产品中有 $3$ 件次品, 现在从中任意抽取 $5$ 件, 其中至少有 $2$ 件次品的抽法有（　　）

15. 已知二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的平面角是锐角 $\theta$, $\alpha$ 内一点 $C$ 到 $\beta$ 的距离为 $3$, 点 $C$ 到棱 $AB$ 的距离为 $4$, 那么 $\tan\theta$ 的值等于（　　）

16. 求复数 $\sqrt{3}-i$ 的模和辐角的主值.

17. 解方程: $9^{x} - 2 \cdot 3^{x+1}= 27$.

18. 已知 $\displaystyle \sin\theta = -\frac{3}{5}$, $\displaystyle \frac{3\pi}{2}< \theta < 2\pi$, 求 $\displaystyle \tan\frac{\theta}{2}$ 的值.

19. 一个直角三角形的两条直角边的长分别为 $3$ cm 和 $4$ cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周, 求所得旋转体的体积.

20. 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^{2}+2n}{n^{2}+3n-1}$.

21. 证明: $\cos 3\alpha = 4\cos^{3} \alpha - 3\cos \alpha$.

22. 如图, 四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形, 侧棱 $SB$ 垂直于底面, 并且 $SB = \sqrt{3}$. 用 $\alpha$ 表示 $\angle ASD$, 求 $\sin\alpha$ 的值.

📐 [图：四棱锥S-ABCD，底面ABCD是正方形，SB垂直于底面]

23. 在双曲线 $x^{2}-y^{2} = 1$ 的右支上求点 $P(a,b)$, 使该点到直线 $y=x$ 的距离为 $\sqrt{2}$.

24. 解不等式: $\displaystyle \lg (\frac{x}{x-1}) < 0$.

25. 一个数列 $\{a_{n}\}$: 当 $n$ 为奇数时, $a_{n} = 5n+1$; 当 $n$ 为偶数时, $a_{n} = 2$. 求这个数列的前 $2m$ 项的和 ($m$ 是正整数).