2005年湖北卷文

1. 设 $P, Q$ 为两个非空实数集合, 定义集合 $P+Q = \{a + b | a \in P, b \in Q\}$. 若 $P = \{0, 2,5\}$, $Q = \{1, 2, 6\}$, 则 $P+Q$ 中元素的个数是（　　）

2. 对任意实数 $a, b, c$, 给出下列命题: ① “$a = b$”是“$ac = bc$”充要条件; ② “$a+\sqrt{5}$是无理数”是“$a$是无理数”的充要条件; ③ “$a > b$”是“$a^{2}>b^{2}$”的充分条件; ④ “$a<5$”是“$a<3$”的必要条件. 其中真命题的个数是（　　）

3. 已知向量 $\vec{a}= (-2,2)$, $\vec{b}= (5,k)$. 若 $|\vec{a}+ \vec{b}|$ 不超过 $5$, 则 $k$ 的取值范围是（　　）

4. 函数 $y=e^{|\ln x|}- |x-1|$ 的图象大致是（　　）

5. 木星的体积约是地球体积的 $240\sqrt{30}$ 倍, 则它的表面积约是地球表面积的（　　）

6. 双曲线 $\dfrac{x^2}{m}- \dfrac{y^2}{n}= 1$ ($mn \neq 0$) 离心率为 $2$, 有一个焦点与抛物线 $y^{2}= 4x$ 的焦点重合, 则 $mn$ 的值为（　　）

7. 在 $y = 2^{x}, y = \log_{2}x, y = x^{2}, y = \cos 2x$ 这四个函数中, 当 $0<x_{1}<x_{2}< 1$ 时, 使 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) > \dfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$ 恒成立的函数的个数是（　　）

8. 已知 $a, b, c$ 是直线, $\alpha$ 是平面, 给出下列命题: ① 若 $a \perp b, b \perp c$, 则 $a \parallel c$; ② 若 $a \parallel b, b \perp c$, 则 $a \perp c$; ③ 若 $a \parallel \alpha, b \subset \alpha$, 则 $a \parallel b$; ④ 若 $a$ 与 $b$ 异面, 且 $a \parallel \alpha$, 则 $b \cap \alpha$ 相交; ⑤ 若 $a$ 与 $b$ 异面, 则至多有一条直线与 $a, b$ 都垂直. 其中真命题的个数是（　　）

9. 把一同排 $6$ 张座位编号为 $1,2,3,4,5,6$ 的电影票全部分给 $4$ 个人, 每人至少分 $1$ 张, 至多分 $2$ 张, 且这两张票具有连续的编号, 那么不同的分法种数是（　　）

10. 若 $\sin \alpha + \cos \alpha = \tan \alpha$ $(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2})$, 则 $\alpha \in$（　　）

11. 在函数 $y = x^{2}- 8x$ 的图象上, 其切线的倾斜角小于 $1$ 的点中, 坐标为整数的点的个数是（　　）

12. 某初级中学有学生 $270$ 人, 其中一年级 $108$ 人, 二、三年级各 $81$ 人, 现要利用抽样方法抽取 $10$ 人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、三年级依次统一编号为 $1,2,\dots,270$; 使用系统抽样时, 将学生统一随机编号 $1,2,\dots,270$, 并将整个编号依次分为 $10$ 段, 如果抽得号码有下列四种情况: ① $7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250$; ② $5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265$; ③ $11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254$; ④ $30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270$; 关于上述样本的下列结论中, 正确的是（　　）

13. 函数 $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}+ \lg \sqrt{4-x}$ 的定义域是 $\underline{\qquad}$.

14. $\left(x^{2}- \dfrac{4}{x}\right)^{3}\left(x + \dfrac{8}{x^2}\right)^{2}$ 的展开式中整理后的常数项等于 $\underline{\qquad}$.

15. 函数 $y= |\sin x\cos x-1|$ 的最小正周期与最大值的和为 $\underline{\qquad}$.

16. 某实验室需购某种化工原料 $106$ 千克, 现在市场上该原料有两种包装, 一种是每袋 $35$ 千克, 价格为 $140$ 元; 另一种是每袋 $24$ 千克, 价格为 $120$ 元. 在满足需要的条件下, 最少要花费 $\underline{\qquad}$ 元.

17. 已知向量 $\vec{a}= (x^{2}, x + 1)$, $\vec{b}= (1 - x,t)$, 若函数 $f(x) = \vec{a}\cdot \vec{b}$ 在区间 $(-1,1)$ 上是增函数, 求 $t$ 的取值范围.

18. 在 $\triangle ABC$ 中, 已知 $\tan B = \sqrt{3}$, $\cos C = \dfrac{1}{3}$, $AC = 3\sqrt{6}$, 求 $\triangle ABC$ 的面积.

19. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}= 2n^{2}$, $\{b_{n}\}$ 为等比数列, 且 $a_{1}= b_{1}$, $b_{2}(a_{2}-a_{1}) = b_{1}$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 设 $C_{n}= \dfrac{a_n}{b_n}$, 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.

20. 如图所示的多面体是由底面为 $ABCD$ 的长方体被截面 $AEC_{1}F$ 所截面而得到的, 其中 $AB = 4, BC = 2, CC_{1}= 3, BE = 1$.

(1) 求 $BF$ 的长;

(2) 求点 $C$ 到平面 $AEC_{1}F$ 的距离.

21. 某会议室用 $5$ 盏灯照明, 每盏灯各使用灯泡一只, 且型号相同. 假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关, 该型号的灯泡寿命为 $1$ 年以上的概率为 $p_{1}$, 寿命为 $2$ 年以上的概率为 $p_{2}$. 从使用之日起每满 $1$ 年进行一次灯泡更换工作, 只更换已坏的灯泡, 平时不换.

(1) 在第一次灯泡更换工作中, 求不需要换灯泡的概率和更换 $2$ 只灯泡的概率;

(2) 在第二次灯泡更换工作中, 对其中的某一盏灯来说, 求该盏灯需要更换灯泡的概率;

(3) 当 $p_{1}= 0.8, p_{2}= 0.3$ 时, 求在第二次灯泡更换工作, 至少需要更换 $4$ 只灯泡的概率.(结果保留两个有效数字)

22. 设 $A、B$ 是椭圆 $3x^{2}+y^{2}= \lambda$ 上的两点, 点 $N(1,3)$ 是线段 $AB$ 的中点, 线段 $AB$ 的垂直平分线与椭圆相交于 $C、D$ 两点.

(1) 确定 $\lambda$ 的取值范围, 并求直线 $AB$ 的方程;

(2) 试判断是否存在这样的 $\lambda$, 使得 $A、B、C、D$ 四点在同一个圆上? 并说明理由.