2003年江苏卷

1. 如果函数 $y=ax^{2}+bx+a$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点,则点 $(a,b)$ 在 $aOb$ 平面上的区域 (不包含边界) 为 ().（　　）

2. 抛物线 $y=ax^{2}$ 的准线方程是 $y=2$,则 $a$ 的值为 ().（　　）

3. 已知 $x \in (-\dfrac{\pi}{2},0)$, $\cos x = \dfrac{4}{5}$, 则 $\tan 2x =$ ().（　　）

4. 设函数 $f(x) = \begin{cases}x^{2},&x \le 0, \\ 2^{x}-1,&x > 0,\end{cases}$ 若 $f(x_{0}) > 1$, 则 $x_{0}$ 的取值范围是 ().（　　）

5. $O$ 是平面上一定点,$A、B、C$ 是平面上不共线的三个点,动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OA}+ \lambda (\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+ \dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$, $\lambda \in [0,+\infty)$,则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的 ().（　　）

6. 函数 $y=\ln\dfrac{x+1}{x-1}, x \in (1,+\infty)$ 的反函数为 ().（　　）

7. 棱长为 $a$ 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为 ().（　　）

8. 设 $a > 0$, $f(x) = ax^{2}+bx+c$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_{0}, f(x_{0}))$ 处切线的倾斜角的取值范围为 $[0, \dfrac{\pi}{4}]$, 则 $P$ 到曲线 $y=f(x)$ 对称轴距离的取值范围为 ().（　　）

9. 已知方程 $(x^{2}-2x+m)(x^{2}-2x+n) = 0$ 的四个根组成一个首项为 $\dfrac{1}{4}$ 的等差数列,则 $|m-n| =$ ().（　　）

10. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7},0)$, 直线 $y=x-1$ 与其相交于 $M、N$ 两点, $MN$ 中点的横坐标为 $-\dfrac{5}{2}$, 则此双曲线的方程是 ().（　　）

11. 已知长方形的四个顶点 $A(0,0), B(2,0), C(2,1)$ 和 $D(0,1)$, 一质点从 $AB$ 的中点 $P_{0}$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_{1}$ 后, 依次反射到 $CD、DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_{2}$、$P_{3}$ 和 $P_{4}$ (入射角等于反射角), 设 $P_{4}$ 的坐标为 $(x_{4},0)$, 若 $1 < x_{4} < 2$, 则 $\tan \theta$ 的取值范围是 ().（　　）

12. 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$, 四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 ().（　　）

13. $(x^{2} - \dfrac{1}{x})^{9}$ 的展开式中 $x$ 系数是 $\underline{\qquad}$.

14. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 $1200$ 辆, $6000$ 辆和 $2000$ 辆. 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取 $46$ 辆进行检验, 这三种型号的轿车依次应抽取 $\underline{\qquad}$、$\underline{\qquad}$、$\underline{\qquad}$ 辆.

15. 某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为 $6$ 个部分 (如图). 现要栽种 $4$ 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有 $\underline{\qquad}$ 种. (以数字作答)

16. 对于四面体 $ABCD$, 给出下列四个命题: ①若 $AB=AC, BD=CD$, 则 $BC \perp AD$; ②若 $AB=CD, AC=BD$, 则 $BC \perp AD$; ③若 $AB \perp AC, BD \perp CD$, 则 $BC \perp AD$; ④若 $AB \perp CD, AC \perp BD$, 则 $BC \perp AD$. 其中真命题的序号是 $\underline{\qquad} ($写出所有真命题的序号)

17. 有三种产品,合格率分别为 $0.90, 0.95$ 和 $0.95$,各抽取一件进行检验.

(1) 求恰有一件不合格的概率;

(2) 求至少有两件不合格的概率.(精确到 $0.001$)

18. 已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \phi) \quad (\omega > 0, 0 \le \phi \le \pi)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数,其图象关于点 $M(\dfrac{3\pi}{4}, 0)$ 对称,且在区间 $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ 上是单调函数.求 $\omega$ 和 $\phi$ 的值.

19. 如图, 在直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, 底面是等腰直角三角形, $\angle ACB = 90^{\circ}$, 侧棱 $AA_{1} = 2$, $D、E$ 分别是 $CC_{1}$ 与 $A_{1}B$ 的中点, 点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $\triangle ABD$ 的重心 $G$.

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小;(结果用反三角函数表示)

(2) 求点 $A_{1}$ 到平面 $AED$ 的距离.

20. 已知常数 $a > 0$, 向量 $\vec{u}= (0, a)$, $\vec{v}=(1,0)$. 经过原点 $O$ 以 $\vec{u}+\lambda\vec{v}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0,a)$ 以 $-2\lambda\vec{v}$ 为方向向量的直线相交于 $P$, 其中 $\lambda \in \mathbf{R}$. 试问:是否存在两个定点 $E、F$, 使得 $|PE|+|PF|$ 为定值, 若存在, 求出 $E、F$ 的坐标; 若不存在, 说明理由.

21. 已知 $a > 0$, $n$ 为正整数.

(1) 设 $y=(x-a)^{n}$, 证明: $y' = n(x-a)^{n-1}$;

(2) 设 $f_{n}(x) = x^{n}-(x-a)^{n}$. 对任意 $n \ge a$, 证明: $f_{n+1}(n+1) > (n+1)f_{n}(n)$.

22. 设 $a > 0$, 如图, 已知直线 $l: y=ax$ 及曲线 $C: y=x^{2}$. $C$ 上的点 $Q_{1}$ 的横坐标为 $a_{1} \quad (0<a_{1}<a)$. 从 $C$ 上的点 $Q_{n} \quad (n \ge 1)$ 作直线平行于 $x$ 轴,交直线 $l$ 于点 $P_{n+1}$,再从点 $P_{n+1}$ 作直线平行于 $y$ 轴,交曲线 $C$ 于点 $Q_{n+1}$. $Q_{n} \quad (n=1,2,3,\dots)$ 的横坐标构成数列 $\{a_{n}\}$.

(1) 试求 $a_{n+1}$ 与 $a_{n}$ 的关系,并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 当 $a=1$, $a_{1} \le \dfrac{1}{3}$ 时, 证明: $\sum\limits_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k+1})a_{k+2}< \dfrac{1}{3^2}$;

(3) 当 $a=1$ 时, 证明: $\sum\limits_{k=1}^{n} (a_{k}-a_{k+1})a_{k+2}< \dfrac{1}{3}$.