2026年深圳高三第二次调研

1. 已知 $z=\dfrac{2}{1-i}$，则 $|z|=$（　　）

2. 已知集合 $A = \{-1,0,1,2\}$，$B = \{x | x^{2}-3x+2<0\}$，则 $A\cap B =$（　　）

3. $(1+2x)^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（　　）

4. 设 $a,b \in R$，则“$3^{a}>3^{b}$”是“$a^{3}>b^{3}$”的（　　）

5. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{ED}$，则 $\overrightarrow{BE}=$（　　）

6. 已知直线 $l$，平面 $\alpha$，满足 $l \not\subset \alpha$，则下列命题一定正确的是（　　）

7. 双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 (a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$、$F_{2}$， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 是 $C$ 上一点，$|F_{1}F_{2}|=|PF_{2}|=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}|OP|$，则 $C$ 的离心率为（　　）

8. 已知函数 $f(x) = e^{x}(x-1)+x^{2}-x$，则满足 $f(m)<f(m+2)$ 的 $m$ 的取值范围是（　　）

9. 已知函数 $f(x) = \cos(x+\dfrac{\pi}{4})$，则（　　）

10. 某公司统计了去年 $1$ 月份到 $5$ 月份某种产品的销售额如下表:

根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为 $\hat{y}=0.32x+1.54$，则（　　）

11. 已知正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的高为 $2$，且有内切球 ($O$ 球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点)，若过 $O,A,B$ 三点的平面截该三棱柱所得截面为 $\alpha$，则（　　）

12. 若直线 $y=3x+b$ 是曲线 $y=2x+\ln x$ 的一条切线，则 $b=$ $\underline{\qquad}$.

13. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，首项 $a_{1}=20$，$S_{26}$ 为 $S_{n}$ 的最大值，则 $S_{26}$ 的值可以为 $\underline{\qquad}. ($写出符合条件的一个值即可)

14. 已知圆 $O:x^{2}+y^{2}=1$， $A$ 是圆 $O$ 上的一动点，$B(2,0)$. 若存在一个半径为 $r$ 的圆与直线 $AB$ 相切于点 $B$，且与圆 $x^{2}+y^{2}=16$ 内切，则 $r$ 的最小值为 $\underline{\qquad}$.

15. (13分)

记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a^{2}=b^{2}+c^{2}+\sqrt{2}bc$， $\sin B=\dfrac{c}{a}$.

(1) 求 $\sin B$ 的值；

(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，求 $\triangle ABC$ 的周长.

16. (15分)

已知函数 $f(x) = e^{x}-x^{2}+(2-a)x$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $x=1$ 时取极值，求 $a$ 的值和 $f(x)$ 的极小值；

(2) 若不等式 $f(x)\geq 1$ 对任意 $x\geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

17. (15分)

已知抛物线 $C: y^{2}= 2px$ $(p>0)$ 的焦点为 $F$，$A,B$ 是 $C$ 上不同的两点 (其中 $A$ 在第一象限)，点 $M(-\dfrac{p}{2},0)$. 当 $AB$ 与 $x$ 轴垂直，且 $|AB|=2p$ 时，$|AM|=2\sqrt{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程；

(2) 若 $Q$ 为 $x$ 轴上一点，且 $|AQ|=|BQ|$ (点 $Q$ 与 $F$ 不重合)，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立:

① $A,B,F$ 三点共线；② $AQ // y$ 轴；③ $MB \perp AB$.

注: 若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

18. (17分)

已知圆锥 $PO$ 的底面直径 $AB=2$，其中 $O$ 为底面圆心，母线 $PA=3$，动点 $M$ 从 $A$ 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 $PO$ 一周后回到 $A$ 点，其轨迹为 $L$.

(1) 求 $L$ 长度的最小值；

(2) 若点 $Q$ 在圆 $O$ 上，且 $\overrightarrow{PM}= \dfrac{2}{3-\cos\theta}\overrightarrow{PQ}$ ( $\theta$ 是 $\angle AOQ$ 所对的圆心角，$0 \leq \theta \leq 2\pi$ )，证明: 存在非零向量 $\boldsymbol{n}$，使得 $\overrightarrow{AM}\perp \boldsymbol{n}$ 恒成立；

(3) 在 (2) 的条件下，可知 $L$ 是平面曲线，记 $L$ 所在平面为 $\alpha$，求平面 $MPO$ 与 $\alpha$ 夹角余弦值的取值范围.

19. (17分)

一个微生物在如图所示 $3 \times 3$ 方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格. 方格 $C$ 是初始位置，$A$ 是营养丰富的角落，每次到达方格 $A$ 时，微生物进行一次繁殖. 记该微生物第 $n$ 次繁殖时所经过的总移动步数为 $X_{n}$ ($n \in N^{*}$).

(1) 求 $P(X_{1}=2)$，$P(X_{1}=4)$，$P(X_{1}=6)$；

(2) 求 $E(X_{1})$；

(3) 求 $E(X_{n})$.