2002年北京卷理科

1. 不等式组 $\displaystyle \begin{cases}\frac{x^2-1}{x-2}< 0 \\ x^{2}-3x < 0\end{cases}$ 的解集为（　　）

2. 已知三条直线 $m, n, l$, 三个平面 $\alpha, \beta, \gamma$, 下列四个命题中, 正确的是（　　）

3. 已知椭圆的焦点是 $F_{1}, F_{2}$, $P$ 是椭圆上的一个动点, 如果延长 $F_{1}P$ 到 $Q$, 使得 $|PQ| = |PF_{2}|$, 那么动点 $Q$ 的轨迹是（　　）

4. 如果 $\displaystyle \theta \in (\frac{7\pi}{4}, \pi)$, 那么复数 $(1+i)(\cos\theta + i\sin\theta)$ 的辐角的主值是（　　）

5. 若角 $\alpha$ 满足条件 $\sin 2\alpha < 0$, $\cos \alpha - \sin \alpha < 0$, 则 $\alpha$ 在（　　）

6. 从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译, 导游, 导购, 保洁四项不同工作, 若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作, 则选派方案共有（　　）

7. 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 2$, $BC = 1.5$, $\angle ABC = 120^{\circ}$, 若使三角形绕直线 $BC$ 旋转一周, 则所形成的几何体的体积是（　　）

8. 圆 $2x^{2} + 2y^{2} = 1$ 与直线 $x \sin \theta + y - 1 = 0$ ($\displaystyle \theta \in R, \theta \neq \frac{\pi}{2}+ k\pi, k \in Z$) 的位置关系是（　　）

9. 在极坐标系中, 如果一个圆的方程 $\rho = 4\cos\theta + 6\sin\theta$, 那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（　　）

10. 对于二项式 $\displaystyle (x^{2} + \frac{1}{x^{3}})^{n}$ 的展开式 ($n \in N^{*}$), 四位同学作出了四种判断:

①存在 $n \in N^{*}$, 展开式中有常数项;

②对任意 $n \in N^{*}$, 展开式中没有常数项;

③对任意 $n \in N^{*}$, 展开式中没有 $x$ 的一次项;

④存在 $n \in N^{*}$, 展开式中有 $x$ 的一次项.

上述判断中正确的是（　　）

11. 若一个等差数列前 3 项的和为 34, 最后 3 项的和为 146, 且所有项的和为 390, 则这个数列有（　　）

12. 用一张钢板制作一个容积为 $4\text{m}^{3}$ 的无盖长方体水箱, 可用的长方形钢板有四种不同的规格 (长 $\times$ 宽的尺寸如各选项所示, 单位均为 $m$), 若既要够用, 又要所剩最少, 则应选钢板的规格是.（　　）

13. 若双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}- \frac{y^{2}}{m}= 1$ 的渐近线方程为 $\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$, 则双曲线的焦点坐标是 ______.

14. 如果 $\displaystyle \cos\theta = \frac{12}{13}$, $\displaystyle \theta \in (\frac{3\pi}{2}, \pi)$, 那么 $\displaystyle \cos (\theta + \frac{\pi}{4})$ 的值等于 ______.

15. 正方形 $ABCD$ 的边长是 2, $E, F$ 分别是 $AB$ 和 $CD$ 的中点, 将正方形沿 $EF$ 折成直二面角 (如图所示). $M$ 为矩形 $AEFD$ 内一点, 如果 $\angle MBE = \angle MBC$, $MB$ 和平面 $BCF$ 所成角的正切值为 $\displaystyle \frac{1}{2}$, 那么点 $M$ 到直线 $EF$ 的距离为 ______.

16. 对于任意两个复数 $z_{1} = x_{1} + y_{1}i$, $z_{2} = x_{2} + y_{2}i$ ($x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 为实数), 定义运算 $\otimes$ 为: $z_{1} \otimes z_{2} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$. 设非零复数 $w_{1}, w_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $P_{1}, P_{2}$, 点 $O$ 为坐标原点, 如果 $w_{1} \otimes w_{2} = 0$, 那么在 $\triangle OP_{1}P_{2}$ 中, $\angle P_{1}OP_{2}$ 的大小为 ______.

17. 在 $\triangle ABC$ 中, 已知 $A, B, C$ 成等差数列, 求 $\displaystyle \tan (\frac{A}{2}+ \frac{C}{2}) + \sqrt{3}\tan \frac{B}{2}$ 的值.

18. 已知函数 $f(x)$ 是偶函数, 而且在 $(0, +\infty)$ 上是增函数, 判断 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是增函数还是减函数, 并证明你的判断.

19. 在三棱锥 $S-ABC$ 中, 如图, $\angle SAB = \angle SAC = \angle ACB = 90^{\circ}$, $AC = 2$, $BC = \sqrt{13}$, $SB = \sqrt{29}$.

(1) 证明: $SC \perp BC$;

(2) 求侧面 $SBC$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角大小;

(3) 求三棱锥的体积 $V_{S-ABC}$.

20. 假设 $A$ 型进口车关税税率在 2001 年是 100%, 在 2006 年是 25%, 2001 年 $A$ 型进口车每辆价格为 64 万元 (其中含 32 万元关税税款).

(1) 已知与 $A$ 型车性能相近的 $B$ 型国产车, 2001 年每辆价格为 46 万元, 若 $A$ 型车的价格只受关税降低的影响, 为了保证 2006 年 $B$ 型车的价格不高于 $A$ 型车价格的 90%, $B$ 型车价格要逐年降低, 问平均每年至少下降多少万元?

(2) 某人在 2001 年将 33 万元存入银行, 假设银行扣利息税后的年利率为 1.8% (5 年内不变), 且每年按复利计算 (上一年的利息计入第二年的本金), 那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按 (1) 中所述降价后的 $B$ 型车一辆?

21. 已知某椭圆的焦点是 $F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$, 过点 $F_{2}$, 并垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆的一个交点为 $B$, 且 $|F_{1}B| + |F_{2}B| = 10$. 椭圆上不同的两点 $A(x_{1},y_{1}), C(x_{2},y_{2})$ 满足条件: $|F_{2}A|, |F_{2}B|, |F_{2}C|$ 成等差数列.

(1) 求该椭圆的方程;

(2) 求弦 $AC$ 中点的横坐标.

22. 已知点的序列 $A_{n}(x_{n}, 0)$, $n \in N$, 其中 $x_{1} = 0, x_{2} = a$ ($a < 0$), $A_{3}$ 是线段 $A_{1}A_{2}$ 的中点, $A_{4}$ 是线段 $A_{2}A_{3}$ 的中点, $\dots$, $A_{n}$ 是线段 $A_{n-2}A_{n-1}$ 的中点.

(1) 写出 $x_{n}$ 与 $x_{n-1}, x_{n-2}$ 之间的关系式 ($n \ge 3$);

(2) 设 $a_{n} = x_{n+1}- x_{n}$, 计算 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 由此推测数列 $\{ a_{n} \}$ 的通项公式, 并加以证明;

(3) 求 $\lim\limits_{n \to \infty}x_{n}$.