2022年高考数学

1. 若集合 $M = \{x|\sqrt{x}< 4\}$, $N = \{x|3x \ge 1\}$, 则 $M \cap N = (\quad)$（　　）

2. 若 $i(1-z)=1$, 则 $z+\bar{z}= (\quad)$（　　）

3. 在 $\triangle ABC$ 中, 点 $D$ 在边 $AB$ 上, $BD = 2DA$. 记 $\overrightarrow{CA}= \vec{m}$, $\overrightarrow{CD}= \vec{n}$, 则 $\overrightarrow{CB}=(\quad)$（　　）

4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题, 其中一部分水蓄入某水库. 已知该水库水位为海拔 $148.5m$ 时, 相应水面的面积为 $140.0km^{2}$; 水位为海拔 $157.5m$ 时, 相应水面的面积为 $180.0km^{2}$, 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台, 则该水库水位从海拔 $148.5m$ 上升到 $157.5m$ 时, 增加的水量约为 ($\sqrt{7}\approx 2.65$)（　　）

5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为（　　）

6. 记函数 $\displaystyle f(x) = \sin (\omega x + \frac{\pi}{4}) + b (\omega > 0)$ 的最小正周期为 $T$. 若 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}< T < \pi$, 且 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\displaystyle (\frac{3\pi}{2}, 2)$ 中心对称, 则 $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) = (\quad)$（　　）

7. 设 $\displaystyle a = 0.1e^{0.1}, b = \frac{1}{9}, c = -\ln 0.9$, 则 $(\quad)$（　　）

8. 已知正四棱锥的侧棱长为 $l$, 其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 $36\pi$, 且 $3 \le l \le 3\sqrt{3}$, 则该正四棱锥体积的取值范围是 $(\quad)$（　　）

9. 已知正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, 则 $(\quad)$（　　）

10. 已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$, 则 $(\quad)$（　　）

11. 已知 $O$ 为坐标原点, 点 $A(1,1)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 2py(p > 0)$ 上, 过点 $B(0,-1)$ 的直线交 $C$ 于 $P,Q$ 两点, 则 $(\quad)$（　　）

12. 已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f'(x)$ 的定义域均为 $R$, 记 $g(x) = f'(x)$, 若 $\displaystyle f(\frac{3}{2}-2x)$, $g(2+x)$ 均为偶函数, 则 $(\quad)$（　　）

13. $\displaystyle (1-\frac{2}{x^{2}})(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2}y^{6}$ 的系数为 _______ (用数字作答).

14. 写出与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和 $(x-3)^{2} + (y-4)^{2} =16$ 都相切的一条直线的方程 _____________________________________________________.

15. 若曲线 $y = (x+a)e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线, 则 $a$ 的取值范围是 _____________________________________________________.

16. 已知椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a > b > 0)$, $C$ 的上顶点为 $A$, 两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 离心率为 $\displaystyle \frac{1}{2}$. 过 $F_{1}$ 且垂直于 $AF_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D,E$ 两点, $|DE|=6$, 则 $\triangle ADE$ 的周长是 _____________________________________________________.

17. 记 $S_{n}$ 为数列$\{a_{n}\}$的前 $n$ 项和, 已知 $a_{1} = 1$, $\displaystyle \{\frac{S_{n}}{a_{n}}\}$ 是公差为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 的等差数列. (1) 求$\{a_{n}\}$的通项公式; (2) 证明: $\displaystyle \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\dots+\frac{1}{a_{n}}< 2$.

18. 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$. 已知 $\displaystyle \frac{\cos A}{1+\sin A}= \frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}$. (1) 若 $\displaystyle C=\frac{2\pi}{3}$, 求 $B$; (2) 求 $\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

19. 如图, 直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为 $4$, $\triangle ABC$ 的面积为 $2\sqrt{2}$.

(1) 求 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离;

(2) 设 $D$ 为 $A_{1}C_{1}$ 的中点, $AA_{1} = AB$, 平面 $A_{1}BC \perp$ 平面 $ABB_{1}A_{1}$, 求二面角 $A-BD-C_{1}$ 的正弦值.

20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯 (卫生习惯分为良好和不够良好两类) 的关系, 在已患该疾病的病例中随机调查了 100 例 (称为病例组), 同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人 (称为对照组), 得到如下数据:

(1) 能否有 $99\%$ 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2) 从该地的人群中任选一人, $A$ 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”, $B$ 表示事件 “选到的人患有该疾病”. $\displaystyle \frac{P(B|A)}{P(B|\bar{A})}$ 与 $\displaystyle \frac{P(\bar{B}|A)}{P(\bar{B}|\bar{A})}$ 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标, 记该指标为 $R$.

(i) 证明: $\displaystyle R=\frac{P(A|B)P(\bar{A}|\bar{B})}{P(\bar{A}|B)P(A|\bar{B})}$;

(ii) 利用该调查数据, 给出 $P(A|B),P(A|\bar{B})$ 的估计值, 并利用 (i) 的结果给出 $R$ 的估计值.

附 $\displaystyle K^{2} = \frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,

21. 已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{a^{2}-1}= 1(a > 1)$ 上, 直线 $l$ 交 $C$ 于 $P,Q$ 两点, 直线 $AP,AQ$ 的斜率之和为 $0$.

(1) 求 $l$ 的斜率;

(2) 若 $\tan \angle PAQ = 2\sqrt{2}$, 求 $\triangle PAQ$ 的面积.

22. 已知函数 $f(x) = e^{x} -ax$ 和 $g(x) = ax-\ln x$ 有相同的最小值.

(1) 求 $a$;

(2) 证明: 存在直线 $y=b$, 其与两条曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 共有三个不同的交点, 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.