1981年全国卷理

1. 设A 表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A = $\{$有理数$\}$,B = $\{$无理数$\}$,试写出: (1) A$\cup$B; (2) A$\cap$B.

2. 在A、B、C、D四位候选人中,

(1) 如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;

(2) 如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

3. 下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.

4. 写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明.

5. 解不等式(x为未知数): $\displaystyle \frac{x-a}{a-b}\cdot \frac{b-c}{x-b}\cdot \frac{c-x}{x-c}> 0$.

6. 用数学归纳法证明等式:$\cos \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2^{2}}\cdot \cos \frac{x}{2^{3}}\cdot \ldots \cdot \cos \frac{x}{2^{n}}= \frac{\sin x}{2^{n} \sin \frac{x}{2^n}}$ 对一切自然数$n$都成立.

7. 设1980年底我国人口以10亿计算.

(1) 如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?

(2) 要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

8. 在120°的二面角P-$\alpha$-Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B, 已知点A和点B到棱$\alpha$的距离分别为2和4,且线段 AB = 10.

(1) 求直线 AB和棱$\alpha$所成的角;

(2) 求直线 AB和平面Q所成的角.

9. 给定双曲线$\displaystyle x^{2}-\frac{y^{2}}{4}= 1$.

(1) 过点A(2,1)的直线与所给的双曲线交于两点$P_{1}$及$P_{2}$,求线段$P_{1}P_{2}$的中点P的轨迹方程;

(2) 过点B(1,1)能否作直线$m$,使$m$与所给双曲线交于两点$Q_{1}$及$Q_{2}$,且点B是线段$Q_{1}Q_{2}$的中点?这样的直线$m$如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.

10. 附加题 已知以 AB 为直径的半圆有一个内接正方形 CDEF,其边长为1(如图).设AC = a, BC = b,作数列 $u_{1} = a - b$, $u_{2} = a^{2} - ab + b^{2}$, $u_{3} = a^{3} - a^{2}b+ab^{2}-b^{3}$, ..., $u_{k} = a^{k} – a^{k-1}b+a^{k-2}b^{2}+(-1)^{k}b^{k}$;求证:$U_{n} = U_{n-1}+ U_{n-2}$ ($n \ge 3$).

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1981_national_sci_1.png}$ \end{figure}