1980年全国卷理

1. 将多项式$x^{5}y-9xy^{5}$分别在下列范围内分解因式:

(1) 有理数范围;

(2) 实数范围;

(3) 复数范围.

2. 半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

3. 用解析几何方法证明:三角形的三条高线交于一点.

4. 证明对数换底公式:$\displaystyle \log_{b} N = \frac{\log_{a} N}{\log_{a} b}$ ($a, b, N$都是正数, $a \neq 1, b \neq 1$).

5. 直升飞机上一点P在地面上的正射影是A,从P看地面上一物体B(不同于A).直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面相交,且交线$l$垂直于AB.

\begin{figure}[H] $\centering$ $\includegraphics{images/1980_national_sci_1.png}$ \end{figure}

6. 设三角函数 $\displaystyle f(x) = \sin \left(k\pi x + \frac{\pi}{4}\right)$, 其中$k \neq 0$.

(1) 写出$f(x)$极大值M、极小值$m$与最小正周期T;

(2) 试求最小的正整数$k$,使得当自变量$x$在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数$f(x)$至少有一个值是M与一个值是$m$.

7. CD为直角$\triangle ABC$中斜边AB上的高,已知$\triangle ACD、\triangle CBD、\triangle ABC$的面积成等比数列,求$\angle B$(用反三角函数表示).

8. 已知$0<\alpha<\pi$,证明: $\displaystyle 2\sin \alpha < \cot \frac{\alpha}{2}$;并讨论$\alpha$为何值时等号成立.

9. 抛物线的方程是$y^{2} = 2x$,有一个半径为1的圆,圆心在$x$轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直. (注:设P($x_{0}, y_{0}$)是抛物线$y^{2} = 2px$上一点,则抛物线在P点处的切线斜率是$\displaystyle \frac{p}{y_{0}}$).

10. 附加题 设直线$l$的参数方程是 $\begin{cases}x = t, \\ y = b+mt,\end{cases}$ ($t$是参数),椭圆E的参数方程是 $\begin{cases}x = 1 + a\cos\theta, \quad (a \neq 0) \\ y = \sin\theta,\end{cases}$ ($\theta$是参数),问$a、b$应满足什么条件,使得对于任意$m$值来说,直线$l$与椭圆E总有公共点.