2002年新课标理卷

1. 曲线 $\begin{cases}x = \cos\theta \\ y = \sin\theta\end{cases}$ ($\theta$ 为参数) 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（　　）

2. 复数 $(i + \dfrac{1}{i})^{2}$ 的值是（　　）

3. 已知 $m,n$ 为异面直线, $m \subset$ 平面 $\alpha, n \subset$ 平面 $\beta, \alpha \cap \beta = l$, 则 $l$（　　）

4. 不等式 $(1+x)(1-x)>0$ 的解集是（　　）

5. 在 $(0, 2\pi)$ 内, 使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（　　）

6. 设集合 $M = \{x | x = \dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, $N = \{x | x = \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, 则（　　）

7. 正六棱柱 $ABCDEF$-$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$ 的底面边长为 $1$, 侧棱长为 $\sqrt{2}$, 则这个棱柱侧面对角线 $E_{1}D$ 与 $BC_{1}$ 所成的角是（　　）

8. 函数 $y = x^{2}+bx+c, x \in [0, +\infty)$ 是单调函数的充要条件是（　　）

9. 已知 $0 < x < y < a < 1$, 则有（　　）

10. 平面直角坐标系中, $O$ 为坐标原点, 已知两点 $A(3,1)$、$B(-1,3)$, 若点 $C$ 满足 $\overrightarrow{OC}= \alpha \overrightarrow{OA}+ \beta \overrightarrow{OB}$, 其中 $\alpha、\beta \in \mathbb{R}$, 且 $\alpha + \beta = 1$, 则点 $C$ 的轨迹方程为（　　）

11. 从正方体的 $6$ 个面中选取 $3$ 个面,其中有 $2$ 个面不相邻的选法共有（　　）

12. 据 $2002$ 年 $3$ 月 $5$ 日九届人大五次会议《政府工作报告》:“$2001$ 年国内生产总值达到 $95933$ 亿元,比上年增长 $7.3\%$”,如果“十·五”期间 ($2001$ 年—$2005$ 年) 每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（　　）

13. 函数 $y = \dfrac{2x}{1+x}$，$x \in (-1, +\infty)$ 图象与其反函数图象的交点为 $\underline{\qquad}$.

14. 椭圆 $5x^{2}+ky^{2}=5$ 的一个焦点是 $(0,2)$,那么 $k=$ $\underline{\qquad}$.

15. 直线 $x = 0, y = 0, x = 2$ 与曲线 $y = (\sqrt{2})^{x}$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于 $\underline{\qquad}$.

16. 已知 $f(x) = \dfrac{x^2}{1+x^2}$,那么 $f(1)+f(2)+f(\dfrac{1}{2})+f(3)+f(\dfrac{1}{3})+f(4)+f(\dfrac{1}{4})=$ $\underline{\qquad}$.

17. 已知 $\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{3\pi}{2}< \alpha < 2\pi$, 求 $\cos(2\alpha+\dfrac{\pi}{3})$ 的值.

18. 如图, 正三棱柱 $ABC$-$A_{1}B_{1}C_{1}$ 的底面边长为 $a$, 侧棱长为 $\sqrt{2}a$.

(1) 建立适当的坐标系, 并写出点 $A, B, A_{1}, C_{1}$ 的坐标;

(2) 求 $AC_{1}$ 与侧面 $ABB_{1}A_{1}$ 所成的角.

19. 某单位 $6$ 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 $0.5$ (相互独立).

(1) 求至少 $3$ 人同时上网的概率;

(2) 至少几人同时上网的概率小于 $0.3$?

20. 已知 $a>0$, 函数 $f(x) = x^{2} - \dfrac{ax}{2}+ \dfrac{1}{x}$, $x \in (0, +\infty)$. 设 $x_{1} > 0$, 记曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_{1}, f(x_{1}))$ 处的切线为 $l$.

(1) 求 $l$ 的方程;

(2) 设 $l$ 与 $x$ 轴交点为 $(x_{2}, 0)$. 证明:

① $x_{2} \ge \dfrac{a}{2}$;

② 若 $x_{2} > a$, 则 $a < x_{2} < x_{1}$.

21. 已知两点 $M(-1,0), N(1,0)$, 且点 $P$ 使 $\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$, $\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}$ 成公差小于零的等差数列.

(1) 点 $P$ 的轨迹是什么曲线?

(2) 若点 $P$ 坐标为 $(x_{0}, y_{0})$, 记 $\theta$ 为 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角, 求 $\tan\theta$.

22. 已知 $\{a_{n}\}$ 是由非负整数组成的数列, 满足 $a_{1} = 0, a_{2} = 3, a_{n+1}a_{n} = (a_{n-1}+2)(a_{n-2}+2)$, $n = 3, 4, 5, \ldots$;

(1) 求 $a_{3}$;

(2) 证明 $a_{n} = a_{n-2}+2$, $n = 3, 4, 5, \ldots$;

(3) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$.