2001年全国卷文科高考

1. $\tan 300^{\circ} + \cot 405^{\circ}$ 的值为（　　）

2. 过点 $A(1,-1), B(-1,1)$ 且圆心在直线 $x+y-2=0$ 上的圆的方程是（　　）

3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为 $\sqrt{3}$, 则这个圆锥的全面积是（　　）

4. 若定义在区间 $(-1,0)$ 内的函数 $f(x) = \log_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$, 则 $a$ 的取值范围是（　　）

5. 已知复数 $z = \sqrt{2}+ \sqrt{6}i$, 则 $\displaystyle \arg \frac{z}{i}$ 是（　　）

6. 函数 $y = 2^{1-x}+1$ $(x>0)$ 的反函数是（　　）

7. 若椭圆经过原点, 且焦点为 $F_{1}(1,0), F_{2}(3,0)$, 则其离心率为（　　）

8. 若 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $\sin \alpha + \cos \alpha = a$, $\sin \beta + \cos \beta = b$, 则（　　）

9. 在正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, 若 $AB = \sqrt{2}BB_{1}$, 则 $AB_{1}$ 与 $C_{1}B$ 所成的角的大小为（　　）

10. 设 $f(x), g(x)$ 都是单调函数, 有如下四个命题中, 正确的命题是

① 若 $f(x)$ 单调递增, $g(x)$ 单调递增, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递增;

② 若 $f(x)$ 单调递增, $g(x)$ 单调递减, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递增;

③ 若 $f(x)$ 单调递减, $g(x)$ 单调递增, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递减;

④ 若 $f(x)$ 单调递减, $g(x)$ 单调递减, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递减.（　　）

11. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法: ①单向倾斜; ②双向倾斜; ③四向倾斜, 记三种盖法屋顶面积分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 $\alpha$, 则（　　）

12. 如图, 小圆圈表示网络的结点, 结点之间的连线表示它们有网线相联, 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 $A$ 向结点 $B$ 传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递, 则单位时间内传递的最大信息量为（　　）

13. $\displaystyle (x+\frac{1}{x^{2}})^{10}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为

14. 双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{16}= 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 在双曲线上, 若 $PF_{1} \perp PF_{2}$, 则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为

15. 设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列, $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和. 若 $\{S_{n}\}$ 是等差数列, 则 $q =$

16. 圆周上有 $2n$ 个等分点 $(n > 1)$, 以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

17. 已知等差数列前三项为 $a, 4, 3a$, 前 $n$ 项的和为 $S_{n}$, $S_{k}=2550$.

(1) 求 $a$ 及 $k$ 的值;

(2) 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{S_{1}}+ \frac{1}{S_{2}}+ \dots + \frac{1}{S_{n}})$.

18. 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中, $\angle ABC = 90^{\circ}$, $SA \perp$ 面 $ABCD$, $SA = AB = BC = 1$, $\displaystyle AD = \frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积;

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

19. 已知圆内接四边形 $ABCD$ 的边长分别为 $AB = 2, BC = 6, CD = DA = 4$, 求四边形 $ABCD$ 的面积.

20. 在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, 点 $E, F$ 分别 $BB_{1}, DD_{1}$ 上, 且 $AE \perp A_{1}B$, $AF \perp A_{1}D$.

(1) 求证: $A_{1}C \perp$ 平面 $AEF$;

(2) 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角), 则在空间中有定理: 若两条直线分别垂直于两个平面, 则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等. 试根据上述定理, 在 $AB = 4, AD = 3, AA_{1} = 5$ 时, 求平面 $AEF$ 与平面 $D_{1}B_{1}BD$ 所成的角的大小, (用反三角函数值表示)

21. 已知椭圆 $C$ 的方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$, 点 $P(a, b)$ 的坐标满足 $\displaystyle a^{2}+\frac{b^{2}}{2}\le 1$. 过点 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$ 两点, 点 $Q$ 为线段 $AB$ 的中点, 求:

(1) 点 $Q$ 的轨迹方程;

(2) 点 $Q$ 的轨迹与坐标轴的交点的个数.

22. 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数, 其图象关于直线 $x=1$ 对称, 对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{1}{2})$ 都有 $f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$, 且 $f(1)=a>0$.

(1) 求 $\displaystyle f(\frac{1}{2}), f(\frac{1}{3})$;

(2) 证明设 $f(x)$ 是周期函数.