1988年全国卷理科数学

1. $i^{4} (1-i)$ 的值等于（　　）

2. 设圆 $M$ 的方程为 $(x-3)^{2}+(y-2)^{2} = 2$, 直线 $L$ 的方程为 $x+y-3=0$, 点 $P$ 的坐标为 $(2,1)$, 那么（　　）

3. 集合 $\{1,2,3\}$ 的子集共有（　　）

4. 已知双曲线方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{20}- \frac{y^{2}}{5}= 1$, 那么它的焦距是（　　）

5. 在 $(x-\sqrt{3})^{10}$ 的展开式中, $x^{6}$ 的系数是（　　）

6. 函数 $y = \cos x - \sin x$ 的最小正周期是（　　）

7. 方程 $4\cos^{2} x - 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0$ 的解集是（　　）

8. 极坐标方程 $\displaystyle \rho = \frac{4}{3-2\cos\theta}$ 所表示的曲线是（　　）

9. 如图, 正四棱台中, $A'D'$ 所在的直线与 $BB'$ 所在的直线是

📐 [图：正四棱台 ABCD-A'B'C'D']（　　）

10. $\displaystyle \tan (\arctan\frac{1}{2}+ \arctan 3)$ 的值等于（　　）

11. 设命题甲: $\triangle ABC$ 的一个内角为 $60^{\circ}$. 命题乙: $\triangle ABC$ 的三内角的度数成等差数列, 那么（　　）

12. 在复平面内, 若复数 $z$ 满足 $|z+1| = |z-i|$, 则所对应的点 $Z$ 的集合构成的图形是（　　）

13. 如果曲线 $x^{2}-y^{2}-2x-2y-1=0$ 经过平移坐标轴后的新方程为 $x'^{2}-y'^{2} = 1$, 那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（　　）

14. 假设在 $200$ 件产品中有 $3$ 件次品, 现在从中任意抽取 $5$ 件, 其中至少有 $2$ 件次品的抽法有（　　）

15. 已知二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的平面角是锐角, $C$ 是平面 $\alpha$ 内一点 (它不在棱 $AB$ 上), 点 $D$ 是点 $C$ 在面 $\beta$ 上的射影, 点 $E$ 是棱 $AB$ 上满足 $\angle CEB$ 为锐角的任一点, 那么（　　）

16. 求复数 $\sqrt{3}-i$ 的模和辐角的主值.

17. 解方程: $9^{x} - 2 \cdot 3^{x+1}= 27$.

18. 已知 $\displaystyle \sin\theta = -\frac{3}{5}$, $\displaystyle \frac{3\pi}{2}< \theta < 2\pi$, 求 $\displaystyle \tan\frac{\theta}{2}$ 的值.

19. 如图, 四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形, 侧棱 $SB$ 垂直于底面, 并且 $SB = \sqrt{3}$. 用 $\alpha$ 表示 $\angle ASD$, 求 $\sin\alpha$ 的值.

📐 [图：四棱锥S-ABCD，底面ABCD是正方形，SB垂直于底面]

20. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1$, 并且 $a_{1} = b$ ($b\neq 0$). 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}}{a_{6}+a_{7}+\dots+a_{n+5}}$.

21. 已知 $\tan x = a$, 求 $\displaystyle \frac{3\sin x + \sin 3x}{3\cos x + \cos 3x}$ 的值.

22. 如图, 正三棱锥 $S-ABC$ 的侧面是边长为 $a$ 的正三角形, $D$ 是 $SA$ 的中点, $E$ 是 $BC$ 的中点, 求 $\triangle SDE$ 绕直线 $SE$ 旋转一周所得的旋转体的体积.

📐 [图：正三棱锥S-ABC，D为SA中点，E为BC中点]

23. 设 $a > 0, a \neq 1, t > 0$, 比较 $\log_{a} t$ 与 $\displaystyle \log_{a} \frac{t+1}{2}$ 的大小, 并证明你的结论.

24. 给定实数 $a$, 且 $a \neq 0, a \neq 1$, 设函数 $\displaystyle y = \frac{a^{x-1}-a^{-x+1}}{a^{x}+a^{-x}}$ ($x \in R$, 且 $x \neq 0$). 证明:

(1) 经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 $x$ 轴;

(2) 这个函数的图象关于直线 $y=x$ 成轴对称图形.

25. 直线 $L$ 的方程为 $\displaystyle x = -\frac{1}{p}$, 其中 $p > 0$; 椭圆的中心为 $\displaystyle D (2+\frac{p}{2},0)$, 焦点在 $x$ 轴上, 长半轴长为 $2$, 短半轴长为 $1$, 它的一个顶点为 $A(1,0)$. 问 $p$ 在哪个范围内取值时, 椭圆上有四个不同的点, 它们中每一个点到点 $A$ 的距离等于该点到直线 $L$ 的距离.