1982年全国卷文科

1. 填表:

2. 求 $(-1+i)^{20}$ 展开式中第15项的数值.

3. 在平面直角坐标系内,表中的方程表示什么曲线?并画出它们的图形:

4. 已知 $\displaystyle x - y = \frac{1}{2}$, $x^{2} + y^{2} = 1$, 求 $x^{2} - y^{2}$ 的值.

5. 以墙为一边,用篱笆围成长方形的场地,并用平行于一边的篱笆隔开 (如图).已知篱笆的总长为定值 $L$,这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大?最大面积是多少?

6. 已知正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 $a$.

(1) 用平面 $A_{1}BC_{1}$ 截去一角后,求剩余部分的体积;

(2) 求 $A_{1}B$ 和 $B_{1}C$ 所成的角.

7. 已知定点 $A, B$ 且 $AB = 2a$,如果动点 $P$ 到点 $A$ 的距离和到点 $B$ 的距离之比为2:1,求点 $P$ 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

8. 求 $\tan 9° + \cot 117° - \tan 243° - \cot 351°$ 的值.

9. 如图,已知 $\triangle AOB$ 中, $OA = b$, $OB = a$, $\angle AOB = \theta$ ($a > b, \theta$ 是锐角). 作 $AB_{1} \perp OB$, $B_{1}A_{1} \parallel BA$; 再作 $A_{1}B_{2} \perp OB$, $B_{2}A_{2} \parallel BA$; 如此无限连续作下去,设 $\triangle ABB_{1}, \triangle A_{1}B_{1}B_{2}, \ldots$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, \ldots$, 求无穷数列 $S_{1}, S_{2}, \ldots$ 的和.