2003年北京卷文

1. 设集合 $A = \{x \mid x^{2} - 1 > 0\}$, $B = \{x \mid \log_{2} x > 0\}$, $A \cap B$ 等于 ().（　　）

2. 设 $y_{1} = 4^{0.9}$, $y_{2} = 8^{0.44}$, $y_{3} = (\dfrac{1}{2})^{-1.5}$, 则 ().（　　）

3. “$\cos 2\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$”是“$\alpha = k\pi + \dfrac{5\pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$”的 ().（　　）

4. 已知 $\alpha, \beta$ 是平面,$m, n$ 是直线,下列命题中不正确的是 ().（　　）

5. 如图,直线 $l: x-2y+2=0$ 过椭圆的左焦点 $F_{1}$ 和一个顶点 $B$, 该椭圆的离心率是 ().（　　）

6. 若 $z \in \mathbf{C}$ 且 $|z+2-2i|=1$, 则 $|z-2-2i|$ 的最小值是 ().（　　）

7. 如果圆台的母线与底面成 $60^{\circ}$ 角, 那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ().（　　）

8. 若数列 $a_{n}$ 的通项公式是 $a_{n} = \dfrac{3^{-n}+(-1)^n 3^{-n}}{2}, n=1, 2,\dots$, 则 $\lim\limits_{n\to\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})$ 等于 ().（　　）

9. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 $4$ 种蔬菜品种中选出 $3$ 种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不同的种植方法共有 ().（　　）

10. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人, 全班 $k$ 名同学都有选举权和被选举权, 他们的编号分别为 $1,2,\dots,k$. 规定: 同意按“$1$”, 不同意(含弃权)按“$0$”, 令 $a_{ij}= \begin{cases}1, & \text{第 } i \text{ 号同学同意第 } j \text{ 号同学当选,} \\ 0, & \text{第 } i \text{ 号同学不同意第 } j \text{ 号同学当选,}\end{cases}$ 其中 $i=1,2,\dots,k$, 且 $j=1,2,\dots,k$, 则同时同意第 $1,2$ 号同学当选的人数为 ().（　　）

11. 已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为 $\underline{\qquad}$.

12. 函数 $f(x) = \lg(1+x^{2})$, $g(x) = |2x|$, $h(x) = \tan 2x$ 中, $\underline{\qquad}$ 是偶函数.

13. 以双曲线 $\dfrac{x^2}{16}- \dfrac{y^2}{9}= 1$ 右顶点为顶点, 左焦点为焦点的抛物线的方程是 $\underline{\qquad}$.

14. 将长度为 $1$ 的铁丝分成两段, 分别围成一个正方形和一个圆形, 要使正方形与圆的面积之和最小, 正方形的周长应为 $\underline{\qquad}$.

15. 已知函数 $f(x) = \cos^{2} x - 2\sin x \cos x - \sin^{2} x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;

(2) 求 $f(x)$ 的最大值、最小值.

16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列, 且 $a_{1} = 2$, $a_{1}+a_{2}+a_{3} = 12$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 令 $b_{n} = a_{n} 3^{n}$. 求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和的公式.

17. 如图, 正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中,$D$ 是 $BC$ 的中点, $AB = a$.

(1) 求证: 直线 $A_{1}D \parallel B_{1}C_{1}$;

(2) 求点 $D$ 到平面 $ACC_{1}$ 的距离;

(3) 判断 $A_{1}B$ 与平面 $ADC$ 的位置关系, 并证明你的结论.

18. 如图, $A_{1}, A_{2}$ 为椭圆的两个顶点, $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆的两个焦点.

(1) 写出椭圆的方程及准线方程;

(2) 过线段 $OA$ 上异于 $O, A$ 的任一点 $K$ 作 $OA$ 的垂线, 交椭圆于 $P, P_{1}$ 两点, 直线 $A_{1}P$ 与 $A_{2}P$ 交于点 $M$. 求证: 点 $M$ 在双曲线 $\dfrac{x^2}{25}- \dfrac{y^2}{9}= 1$ 上.

19. 有三个新兴城镇, 分别位于 $A, B, C$ 三点处, 且 $AB = AC = 13$ km, $BC = 10$ km. 今计划合建一个中心医院, 为同时方便三镇, 准备建在 $BC$ 的垂直平分线上的 $P$ 点处. (建立坐标系如图)

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和为最小, 点 $P$ 应位于何处?

(2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离为最小, 点 $P$ 应位于何处?

20. 设 $y=f(x)$ 是定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数, 且满足条件:

① $f(-1) = f(1) = 0$;

② 对任意的 $u, v \in [-1,1]$, 都有 $|f(u)-f(v)| \le |u-v|$.

(1) 证明: 对任意的 $x \in [-1,1]$, $x-1 < f(x) < 1-x$;

(2) 判断函数 $g(x) = \begin{cases}1+x, & x \in [-1,0), \\ 1-x, & x \in [0,1],\end{cases}$ 是否满足题设条件;

(3) 在区间 $[-1,1]$ 上是否存在满足题设条件的函数 $y=f(x)$, 且使得对任意的 $u, v \in [-1,1]$, 都有 $|f(u)-f(v)| = u-v$. 若存在, 请举一例; 若不存在, 请说明理由.