2001年全国卷理科高考

1. 若 $\sin \theta \cos \theta > 0$, 则 $\theta$ 在（　　）

2. 过点 $A(1,-1), B(-1,1)$ 且圆心在直线 $x+y-2=0$ 上的圆的方程是（　　）

3. 设 $\{a_{n}\}$ 是递增等差数列, 前三项的和为 $12$, 前三项的积为 $48$, 则它的首项是（　　）

4. 若定义在区间 $(-1,0)$ 内的函数 $f(x) = \log_{2a}(x+1)$ 满足 $f(x)>0$, 则 $a$ 的取值范围是（　　）

5. 极坐标方程 $\displaystyle \rho = 2\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$ 的图形是（　　）

6. 函数 $y = \cos x+1$ $(-\pi \le x \le 0)$ 的反函数是（　　）

7. 若椭圆经过原点, 且焦点为 $F_{1}(1,0), F_{2}(3,0)$, 则其离心率为（　　）

8. 若 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $\sin \alpha + \cos \alpha = a$, $\sin \beta + \cos \beta = b$, 则（　　）

9. 在正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, 若 $AB = \sqrt{2}BB_{1}$, 则 $AB_{1}$ 与 $C_{1}B$ 所成的角的大小为（　　）

10. 设 $f(x), g(x)$ 都是单调函数, 有如下四个命题中, 正确的命题是

① 若 $f(x)$ 单调递增, $g(x)$ 单调递增, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递增;

② 若 $f(x)$ 单调递增, $g(x)$ 单调递减, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递增;

③ 若 $f(x)$ 单调递减, $g(x)$ 单调递增, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递减;

④ 若 $f(x)$ 单调递减, $g(x)$ 单调递减, 则 $f(x)-g(x)$ 单调递减.（　　）

11. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法: ①单向倾斜; ②双向倾斜; ③四向倾斜, 记三种盖法屋顶面积分别为 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 $\alpha$, 则（　　）

12. 如图, 小圆圈表示网络的结点, 结点之间的连线表示它们有网线相联, 连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点 $A$ 向结点 $B$ 传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递, 则单位时间内传递的最大信息量为（　　）

13. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为 $\sqrt{3}$, 则这个圆锥的侧面积是

14. 双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}- \frac{y^{2}}{16}= 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 在双曲线上, 若 $PF_{1} \perp PF_{2}$, 则点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为

15. 设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列, $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和. 若 $\{S_{n}\}$ 是等差数列, 则 $q =$

16. 圆周上有 $2n$ 个等分点 $(n > 1)$, 以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为

17. 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥 $S-ABCD$ 中, $\angle ABC = 90^{\circ}$, $SA \perp$ 面 $ABCD$, $SA = AB = BC = 1$, $\displaystyle AD = \frac{1}{2}$.

(1) 求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积;

(2) 求面 $SCD$ 与面 $SBA$ 所成的二面角的正切值.

18. 已知复数 $z_{1} = i(1 - i)^{3}$.

(1) 求 $\arg z_{1}$ 及 $|z_{1}|$;

(2) 当复数 $z$ 满足 $|z| = 1$, 求 $|z-z_{1}|$ 的最大值.

19. 设抛物线 $y^{2} = 2px$ $(p>0)$ 的焦点为 $F$, 经过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点. 点 $C$ 在抛物线的准线上, 且 $BC \text{ // }x$ 轴. 证明直线 $AC$ 经过原点 $O$.

20. 已知 $i, m, n$ 是正整数, 且 $1 < i < m < n$.

(1) 证明: $\complement_{n}^{i} < \complement_{m}^{i}$;

(2) 证明: $(1+m)^{n} > (1+n)^{m}$.

21. 从社会效益和经济效益出发, 某地投入资金进行生态环境建设, 并以此发展旅游产业. 根据规划, 本年度投入 $800$ 万元, 以后每年投入将比上年减少 $\displaystyle \frac{1}{4}$. 本年度当地旅游业收入估计为 $400$ 万元, 由于该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 $\displaystyle \frac{1}{2}$.

(1) 设 $n$ 年内 (本年度为第一年) 总投入为 $a_{n}$ 万元, 旅游业总收入为 $b_{n}$ 万元. 写出 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式;

(2) 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

22. 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数, 其图象关于直线 $x=1$ 对称, 对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in [0, \frac{1}{2})$ 都有 $f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})$, 且 $f(1)=a>0$.

(1) 求 $\displaystyle f(\frac{1}{2}), f(\frac{1}{3})$;

(2) 证明设 $f(x)$ 是周期函数;

(3) 记 $\displaystyle a_{n} = f(2n+\frac{1}{2^{m}})$, 求 $\lim\limits_{n\to\infty}(\ln a_{n})$.