2002年新课标文卷

1. 直线 $(1+a)x+y+1=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-2x = 0$ 相切,则 $a$ 的值为（　　）

2. 已知 $m, n$ 为异面直线, $m \subset$ 平面 $\alpha, n \subset$ 平面 $\beta, \alpha \cap \beta = l$, 则 $l$（　　）

3. 函数 $y = a^{x}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值这和为 $3$, 则 $a =$（　　）

4. 不等式 $(1+x)(1-x)>0$ 的解集是（　　）

5. 在 $(0, 2\pi)$ 内, 使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（　　）

6. 设集合 $M = \{x | x = \dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, $N = \{x | x = \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, 则（　　）

7. 椭圆 $5x^{2}+ky^{2}=5$ 的一个焦点是 $(0,2)$,那么 $k =$（　　）

8. 正六棱柱 $ABCDEF$-$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$ 的底面边长为 $1$, 侧棱长为 $\sqrt{2}$, 则这个棱柱侧面对角线 $E_{1}D$ 与 $BC_{1}$ 所成的角是（　　）

9. 函数 $y = x^{2}+bx+c, x \in [0, +\infty)$ 是单调函数的充要条件是（　　）

10. 已知 $0 < x < y < a < 1$, 则有（　　）

11. 从正方体的 $6$ 个面中选取 $3$ 个面,其中有 $2$ 个面不相邻的选法共有（　　）

12. 平面直角坐标系中, $O$ 为坐标原点, 已知两点 $A(3,1)$、$B(-1,3)$, 若点 $C$ 满足 $\overrightarrow{OC}= \alpha \overrightarrow{OA}+ \beta \overrightarrow{OB}$, 其中 $\alpha、\beta \in \mathbb{R}$, 且 $\alpha + \beta = 1$, 则点 $C$ 的轨迹方程为（　　）

13. 据新华社 $2002$ 年 $3$ 月 $12$ 日电, $1985$ 年到 $2000$ 年间, 我国农村人均居住面积如图所示, 其中,从 $\underline{\qquad}$ 年的五年间增长最快.

14. 已知 $\sin 2\alpha = -\sin \alpha$, $\alpha \in (\dfrac{3\pi}{2}, \pi)$, 则 $\cot \alpha =$ $\underline{\qquad}$.

15. 甲、乙两种冬小麦试验品种连续 $5$ 年的平均单位面积产量如下 (单位: t/km$^{2}$):

其中产量比较稳定的小麦品种是 $\underline{\qquad}$.

16. 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内有定义,下列函数

① $y = f(x)$; ② $y = xf(x^{2})$; ③ $y = -f(-x)$; ④ $y = f(x) - f(-x)$.

其中必为奇函数的有 $\underline{\qquad}. ($要求填写正确答案的序号)

17. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中,已知 $a_{6}-a_{4} = 24$, $3a_{5} = 64$, 求 $\{a_{n}\}$ 前 $8$ 项的和 $S_{8}$.

18. 已知 $\sin^{2} 2\alpha + \sin 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha = 1$, $\alpha \in (0, \dfrac{\pi}{2})$, 求 $\sin\alpha、\tan\alpha$ 的值.

19. 如图, 正方形 $ABCD$、$ABEF$ 的边长都是 $1$, 而且平面 $ABCD$、$ABEF$ 互相垂直. 点 $M$ 在 $AC$ 上移动, 点 $N$ 在 $BF$ 上移动, 若 $CM=BN = a$ ($0 < a < \sqrt{2}$).

20. 某单位 $6$ 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 $0.5$ (相互独立).

(1) 求至少 $3$ 人同时上网的概率;

(2) 至少几人同时上网的概率小于 $0.3$?

21. 已知 $a > 0$, 函数 $f(x) = x^{3}-a$, $x \in (0, +\infty)$. 设 $x_{1} > 0$, 记曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_{1}, f(x_{1}))$ 处的切线为 $l$.

(1) 求 $l$ 的方程;

(2) 设 $l$ 与 $x$ 轴交点为 $(x_{2}, 0)$. 证明:

① $x_{2} \ge \sqrt[3]{a}$;

② 若 $x_{2} > a$, 则 $a < x_{2} < x_{1}$.

22. 已知两点 $M(-1,0), N(1,0)$, 且点 $P$ 使 $\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$, $\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}$ 成公差小于零的等差数列.

(1) 点 $P$ 的轨迹是什么曲线?

(2) 若点 $P$ 坐标为 $(x_{0}, y_{0})$, 记 $\theta$ 为 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角, 求 $\tan\theta$.