2000年京皖文（春）

1. 复数 $z_{1} = 3 + i$, $z_{2} = 1-i$, 则 $\displaystyle z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内的对应点位于（　　）

2. 设全集 $I = \{a, b, c, d, e\}$, 集合 $M = \{a, c, d\}$, $N = \{b, d, e\}$, 那么 $M \cap N$ 是（　　）

3. 已知双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{3}- \frac{y^{2}}{2}= 1$ 的两条渐近线互相垂直, 那么该双曲线的离心率是（　　）

4. 下列方程关于 $x=y$ 对称的是（　　）

5. 一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等, 那么圆锥与球的体积之比是（　　）

6. 直线 $(\sqrt{3}- \sqrt{2})x + y = 3$ 和直线 $x + (\sqrt{2}- \sqrt{3})y = 2$ 的位置关系是（　　）

7. 函数 $y = \lg|x|$（　　）

8. 从单词 “equation” 选取 $5$ 个不同的字母排成一排, 含有 “qu” (其中 “qu” 相连且顺序不变) 的不同排列共有（　　）

9. 椭圆短轴长是 $2$, 长轴长是短轴的 $2$ 倍, 则椭圆中心到其准线距离是（　　）

10. 函数 $y = \sin x + \cos x + 2$ 的最小值是（　　）

11. 设复数 $z_{1} = -1 - i$ 在复平面上对应向量 $\vec{OZ_1}$, 将 $\vec{OZ_1}$ 按顺时针方向旋转 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 后得到向量 $\vec{OZ_2}$, 令 $\vec{OZ_2}$ 对应的复数为 $z_{2}$ 的辐角主值为 $\theta$, 则 $\tan\theta =$（　　）

12. 设 $\alpha, \beta$ 是一个钝角三角形的两个锐角, 下列四个不等式中不正确的是（　　）

13. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{101}= 0$, 则有（　　）

14. 已知函数 $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ 的图象如图, 则（　　）

15. 函数 $\displaystyle y = \cos\left(\frac{2\pi}{3}x + \frac{\pi}{2}\right)$ 的最小正周期是 ______ .

16. 已知一体积为 $72$ 的正四面体, 连接两个面的重心 $E, F$, 则线段 $EF$ 的长是 ______ .

17. $\displaystyle (\sqrt[3]{x}- \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$ 展开式中的常数项是 ______ .

18. 在空间, 下列命题正确的是 ______ (注: 把你认为正确的命题的序号都填上)

①如果两条直线 $a, b$ 分别与直线 $l$ 平行, 那么 $a \parallel b$;

②如果两条直线 $a$ 与平面 $\beta$ 内的一条直线 $l$ 平行, 那么 $a \parallel \beta$;

③如果直线 $a$ 与平面 $\beta$ 内的一条直线 $b, c$ 都有垂直, 那么 $a \perp \beta$;

④如果平面 $\beta$ 内的一条直线 $a$ 垂直平面 $\gamma$, 那么 $\beta \perp \gamma$.

19. 已知二次函数 $f(x) = (\lg a)x^{2} + 2x + 4\lg a$ 的最大值为 $3$, 求 $a$ 的值.

20. 在 $\triangle ABC$ 中, 角 $A, B, C$ 对边分别为 $a, b, c$, 证明: $\displaystyle \frac{a^{2} - b^{2}}{c^{2}}= \frac{\sin(A - B)}{\sin C}$.

21. 在直角梯形 $ABCD$ 中, $\angle D = \angle BAD = 90^{\circ}$, $\displaystyle AD = DC = \frac{1}{2}AB = a$ (如图一). 将 $\triangle ADC$ 沿 $AC$ 折起, 使 $D$ 到 $D'$. 记面 $ACD'$ 为 $\alpha$, 面 $ABC$ 为 $\beta$, 面 $BCD'$ 为 $\gamma$.

(1) 若二面角 $\alpha - AC - \beta$ 为直二面角 (如图二), 求二面角 $\beta - BC - \gamma$ 的大小;

(2) 若二面角 $\alpha - AC - \beta$ 为 $60^{\circ}$ (如图三), 求三棱锥 $D' - ABC$ 的体积.

22. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差和等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比相等, 且都等于 $d$ ($d > 0, d \ne 1$), 若 $a_{1} = b_{1}$, $a_{3} = 3b_{3}$, $a_{5} = 5b_{5}$, 求 $a_{n}, b_{n}$.

23. 如图, 设点 $A$ 和 $B$ 为抛物线 $y^{2} = 4px$ ($p > 0$) 上原点以外的两个动点, 已知 $OA \perp OB$, $OM \perp AB$. 求点 $M$ 的轨迹方程, 并说明它表示什么曲线.

24. 某地区上年度电价为 $0.8$ 元/kW·h, 年用电量为 $a$ kW·h. 本年度计划将电价降到 $0.55$ 元/kW·h 至 $0.75$ 元/kW·h 之间, 而用户期望电价为 $0.4$ 元/kW·h. 经测算, 下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 (比例系数为 $k$). 该地区电力的成本为 $0.3$ 元/kW·h.

(1) 写出本年度电价下调后, 电力部门的收益 $y$ 与实际电价 $x$ 的函数关系式;

(2) 设 $k = 0.2a$, 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 $20\%$?

注: 收益 = 实际用电量 $\times$ (实际电价 - 成本价)