2005年重庆卷文

1. 圆 $(x+2)^{2}+ y^{2}= 5$ 关于原点 $(0,0)$ 对称的圆的方程为（　　）

2. $\left(\cos\dfrac{\pi}{12}- \sin\dfrac{\pi}{12}\right)\left(\cos\dfrac{\pi}{12}+ \sin\dfrac{\pi}{12}\right) =$（　　）

3. 若函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数,在 $(-\infty,0]$ 上是减函数,且 $f(2) = 0$, 则使得 $f(x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（　　）

4. 设向量 $\boldsymbol{a}= (-1,2)$, $\boldsymbol{b}= (2,-1)$, 则 $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 等于（　　）

5. 不等式组 $\begin{cases}|x-2|<2 \\ \log_{2}(x^{2}- 1) > 1\end{cases}$ 的解集为（　　）

6. 已知 $\alpha$、$\beta$ 均为锐角, 若 $p : \sin\alpha < \sin(\alpha + \beta)$, $q: \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$, 则 $p$ 是 $q$ 的（　　）

7. 对于不重合的两个平面 $\alpha$ 与 $\beta$,给定下列条件:

① 存在平面 $\gamma$, 使得 $\alpha$、$\beta$ 都垂直于 $\gamma$;

② 存在平面 $\gamma$, 使得 $\alpha$、$\beta$ 都平行于 $\gamma$;

③ 存在直线 $l \subset \alpha$, 直线 $m \subset \alpha$, 使得 $l \parallel m$;

④ 存在异面直线 $l$、$\m$, 使得 $l \parallel \alpha$, $l \parallel \beta$, $m \parallel \alpha$, $m \parallel \beta$.

其中,可以判定 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行的条件有（　　）

8. 若 $(1+2x)^{n}$ 展开式中含 $x^{3}$ 项的系数等于含 $x$ 项的系数的 $8$ 倍,则 $n$ 等于（　　）

9. 若动点 $(x,y)$ 在曲线 $\dfrac{x^2}{4}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ $(b>0)$ 上变化,则 $x^{2}+ 2y$ 的最大值为（　　）

10. 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点,已知最底层正方体的棱长为 $2$,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 $39$,则该塔形中正方体的个数至少是（　　）

11. 若集合 $A = \{x \in \mathbb{R}| x^{2}- 4x+3<0\}$, 集合 $B = \{x \in \mathbb{R}| (x-2)(x-5) < 0\}$,则 $A \cap B =$ $\underline{\qquad}$.

12. 曲线 $y = x^{3}$ 在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴、直线 $x=2$ 所围成的三角形的面积为 $\underline{\qquad}$.

13. 已知 $\alpha$、$\beta$ 均为锐角,且 $\cos(\alpha + \beta) = \sin(\alpha - \beta)$, 则 $\tan\alpha =$ $\underline{\qquad}$.

14. 若 $x^{2}+ y^{2}= 4$,则 $x-y$ 的最大值是 $\underline{\qquad}$.

15. 若 $10$ 把钥匙中只有 $2$ 把能打开某锁,则从中任取 $2$ 把能将该锁打开的概率为 $\underline{\qquad}$.

16. 已知 $A(-1,0)$, $B$ 是圆 $F: (x-1)^{2}+y^{2}= 4$ ($F$ 为圆心) 上一动点,线段 $AB$ 的垂直平分线交 $BF$ 于 $P$,则动点 $P$ 的轨迹方程为 $\underline{\qquad}$.

17. 若函数 $f(x) = \dfrac{1 + \cos 2x}{2\sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)}+ \sin x + \sin^{2}\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的最大值为 $\sqrt{2}+3$, 试确定常数 $\alpha$ 的值.

18. 加工某种零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的合格率分别为 $\dfrac{9}{10}$、$\dfrac{8}{9}$、$\dfrac{7}{8}$,且各道工序互不影响.

(1) 求该种零件的合格率;

(2) 从该种零件中任取 $3$ 件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.

19. 设函数 $f(x) = 2x^{3}-3(a + 1)x^{2}+6ax+8$,其中 $a\in \mathbb{R}$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $x=3$ 处取得极值,求常数 $\alpha$ 的值;

(2) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上为增函数,求 $\alpha$ 的取值范围.

20. 如图, 在四棱锥 $P - ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 为矩形, $PD \perp$ 底面 $ABCD$, $E$ 是 $AB$ 上一点, $PE \perp EC$.已知 $PD = \sqrt{2}$, $CD = 2$, $AE = \dfrac{1}{2}$, 求:

(1) 异面直线 $PD$ 与 $EC$ 的距离;

(2) 二面角 $E-PC-D$ 的大小.

21. 已知中心在原点的双曲线 $C$ 的右焦点为 $(2,0)$,右顶点为 $(\sqrt{3},0)$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程;

(2) 若直线 $l: y = kx+\sqrt{2}$ 与双曲线 $C$ 恒有两个不同的交点 $A$ 和 $B$,且 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}> 2$ (其中 $O$ 为原点). 求 $k$ 的取值范围.

22. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}= 1$ 且 $8a_{n+1}a_{n}- 16a_{n+1}+ 2a_{n}+ 5 = 0$ ($n \geq 1$). 记 $b_{n}= \dfrac{1}{a_n - \dfrac{1}{2}}$ ($n \geq 1$).

(1) 求 $b_{1}$、$b_{2}$、$b_{3}$、$b_{4}$ 的值;

(2) 求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式及数列 $\{a_{n}b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.