2024年全国甲卷文科数学

1. 集合 $A = \{1,2,3,4,5,9\}$, $B=\{x|x+1\in A\}$, 则 $A\cap B = ($ )（　　）

2. 设 $z = \sqrt{2}i$, 则 $z\cdot\overline{z}= ($ )（　　）

3. 若实数 $x,y$ 满足约束条件 $\begin{cases}4x-3y-3\geq 0 \\ x-2y-2\leq 0 \\ 2x+6y-9\leq 0\end{cases}$, 则 $z=x-5y$ 的最小值为（　　）

4. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{9}= 1$, $a_{3}+ a_{7}= ($ )（　　）

5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是（　　）

6. 已知双曲线 $C:\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的上、下焦点分别为 $F_{1}(0,4)$, $F_{2}(0,-4)$,点 $P(-6,4)$ 在该双曲线上,则该双曲线的离心率为（　　）

7. 曲线 $f(x) = x^{3}+3x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（　　）

8. 函数 $f(x)=-x^{2}+(e^{x}-e^{-x})\sin x$ 在区间 $[-2.8,2.8]$ 的大致图像为( )

（　　）

9. 已知 $\dfrac{\cos\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha}= \sqrt{3}$, 则 $\tan\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right) = ($ )（　　）

10. 设 $\alpha$、$\beta$ 是两个平面, $m$、$n$ 是两条直线, 且 $\alpha\cap\beta=m$.下列四个命题:

①若 $m//n$,则 $n//\alpha$ 或 $n//\beta$

②若 $m\perp n$,则 $n\perp\alpha$, $n\perp\beta$

③若 $n//\alpha$,且 $n//\beta$,则 $m//n$

④若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等,则 $m\perp n$

其中所有真命题的编号是（　　）

11. 在 $\triangle ABC$ 中內角 $A, B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$, 若 $B=\dfrac{\pi}{3},b^{2}=\dfrac{9}{4}ac$,则 $\sin A+\sin C = ($ )（　　）

12. 函数 $f(x)=\sin x - \sqrt{3}\cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上的最大值是 $\underline{\qquad}$.

13. 已知 $a>1$, $\dfrac{1}{\log_a 4}- \dfrac{1}{\log_a 2}= -\dfrac{5}{2}$, 则 $a =$ $\underline{\qquad}$.

14. 曲线 $y= x^{3}-3x$ 与 $y = -(x-1)^{2}+ a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点, 则 $a$ 的取值范围为 $\underline{\qquad}$.

15. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,且 $2S_{n}= 3a_{n}+1-3$.

(1) 求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 求数列 $\{S_{n}\}$ 的通项公式.

16. 如图,在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中,四边形 $ABCD$ 与四边形 $ADEF$ 均为等腰梯形, $BC//AD, EF // AD, AD = 4, AB = BC = EF = 2, ED = \sqrt{10}, FB = 2\sqrt{3}, M$ 为 $AD$ 的中点.

(1) 证明: $BM //$ 平面 $CDE$ ;

(2) 求点 $M$ 到 $ABF$ 的距离.

17. 已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;

(2) 若 $a\leq 2$ 时,证明:当 $x>1$ 时, $f(x) <e^{-1}$ 恒成立.

18. 设椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$,点 $M(1,\dfrac{3}{2})$ 在 $C$ 上,且 $MF\perp x$ 轴.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 过点 $P(4,0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $N$ 为线段 $FP$ 的中点,直线 $NB$ 交直线 $MF$ 于点 $Q$,证明: $AQ\perp y$ 轴.

19. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,以坐标原点 $O$ 为极点,$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho = \rho\cos\theta+1$.

(1) 写出 $C$ 的直角坐标方程;

(2) 设直线 $l: \begin{cases}x=t \\ y=t+a\end{cases}$ ($t$ 为参数),若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A,B$ 两点,若 $|AB|=2$,求 $a$ 的值.

20. 实数 $a,b$ 满足 $a+b\geq 3$.

(1) 证明: $2a^{2}+ 2b^{2}> a + b$ ;

(2) 证明: $|a-2b^{2}|+|b-2a^{2}| \geq 6$.