1999年全国卷理科

1. 如图, $I$ 是全集, $M、P、S$ 是 $I$ 的 $3$ 个子集, 则阴影部分所表示的集合是（　　）

2. 已知映射 $f: A \to B$, 其中, 集合 $A=\{-3,-2,-1, 1, 2, 3, 4\}$, 集合 $B$ 中的元素都是 $A$ 中元素在映射 $f$ 下的象, 且对任意的 $a \in A$, $B$ 中和它对应的元素是 $|a|$, 则集合 $B$ 中元素的个数是（　　）

3. 若函数 $y = f(x)$ 的反函数是 $y = g(x)$, $f（　　）

4. 函数 $f(x) = M \sin (\omega x + \varphi)$ ($\omega>0$) 在区间 $[a,b]$ 上是增函数, 且 $f（　　）

5. 若 $f(x) \sin x$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数, 则 $f(x)$ 可以是（　　）

6. 在极坐标系中, 曲线 $\displaystyle \rho = 4\sin (\theta - \frac{\pi}{3})$ 关于（　　）

7. 将若干毫升水倒入底面半径为 $2$ cm 的圆柱形器皿中, 量得水面的高度为 $6$ cm, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中, 则水面的高度是（　　）

8. 若 $(2x+\sqrt{3})^{4} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4}$, 则 $(a_{0} + a_{2} + a_{4})^{2} - (a_{1}+a_{3})^{2}$ 的值为（　　）

9. 直线 $\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$ 截圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 得的劣弧所对的圆心角为（　　）

10. 如图, 在多面体 $ABCDEF$ 中, 已知面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的正方形, $\displaystyle EF \parallel AB, EF = \frac{3}{2}, EF$ 与面 $AC$ 的距离为 $2$, 则该多面体的体积为（　　）

11. 若 $\sin \alpha > \tan \alpha > \cot \alpha$ ($\displaystyle -\frac{\pi}{2}< \alpha < \frac{\pi}{2}$), 则 $\alpha \in$（　　）

12. 如果圆台的上底面半径为 $5$, 下底面半径为 $R$, 中截面把圆台分为上、下两个圆台, 它们的侧面积的比为 $1:2$, 那么 $R=$（　　）

13. 已知两点 $\displaystyle M(1, -\frac{1}{2})$, $\displaystyle N(-4, -\frac{1}{2})$, 给出下列曲线方程:

$\text{① }4x + 2y - 1 = 0$; $\text{② }x^{2} + y^{2} = 3$; $\displaystyle \text{③ }\frac{x^{2}}{3}+ y^{2} = 1$; $\text{④ }x^{2} - y^{2} = 1$.

在曲线上存在点 $P$ 满足 $|MP| = |NP|$ 的所有曲线方程是（　　）

14. 某电脑用户计划使用不超过 $500$ 元的资金购买单价分别为 $60$ 元、$70$ 元的单片软件和盒装磁盘, 根据需要, 软件至少买 $3$ 片, 磁盘至少买 $2$ 盒, 则不同的选购方式共有（　　）

15. 设椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$ ($a > b > 0$) 的右焦点为 $F_{1}$, 右准线为 $l_{1}$, 若过 $F_{1}$ 且垂直于 $x$ 轴的弦长等于点 $F_{1}$ 到 $l_{1}$ 的距离, 则椭圆的率心率是

16. 在一块并排 $10$ 垄的田地中, 选择 $2$ 垄分别种植 $A、B$ 两种作物, 每种作物种植一垄, 为有利于作物生长, 要求 $A、B$ 两种作物的间隔不小于 $6$ 垄, 则不同的选垄方法共有 $$ 种.(用数字作答)

17. 若正数 $a、b$ 满足 $ab=a+b+3$, 则 $ab$ 的取值范围是 $$

18. $\alpha、\beta$ 是两个不同的平面, $m、n$ 是平面 $\alpha$ 及 $\beta$ 之外的两条不同直线, 给出 四个论断: $\text{① }m \perp n$; $\text{② }\alpha \perp \beta$; $\text{③ }n \perp \beta$; $\text{④ }m \parallel \alpha$.

以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题:

19. 解不等式: $\sqrt{3}\log_{a}x-2 \ge \log_{a} x -1$ ($a>0, a \ne 1$).

20. 设复数 $z = \sqrt{3}\cos \theta+i2 \sin \theta$, 求函数 $y= \theta - \arg z$ ($\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$) 的最大值以及对应的值.

21. 如图, 已知正四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, 点 $E$ 在棱 $D_{1}D$ 上, 截面 $EAC \parallel D_{1}B$, 且面 $EAC$ 与底面 $ABCD$ 所成的角为 $45^{\circ}, AB = a$.

(1) 求截面 $EAC$ 的面积;

(2) 求异面直线 $A_{1}B_{1}$ 与 $AC$ 之间的距离;

(3) 求三棱锥 $B_{1}-EAC$ 的体积.

22. 如图为一台冷轧机的示意图, 冷轧机由若干对轧辊组成, 带钢从一端输入, 经过各对轧辊逐步减薄后输出.

(1) 输入带钢的厚度为 $a$, 输出带钢的厚度为 $b$, 若每对轧辊的减薄率不超过 $r_{0}$. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?

$\displaystyle (\text{一对轧辊减薄率}= \frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}})$

(2) 已知一台冷轧机共有 $4$ 对减薄率为 $20\%$ 的轧辊, 所有轧辊周长均为 $1600 \pi$ mm. 若第 $k$ 对轧辊有缺陷, 每滚动一周在带钢上压出一个疵点, 在冷轧机输出的带钢上, 疵点的间距为 $L_{k}$. 为了便于检修, 请计算 $L_{1}、L_{2}、L_{3}$ 并填入下表 (轧钢过程中, 带钢宽度不变, 且不考虑损耗).

23. 已知函数 $y = f(x)$ 的图象是自原点出发的一条折线, 当 $n \le y < n+1$ ($n = 0,1,2,\dots$) 时, 该图象是斜率为 $b^{n}$ 的线段 (其中正常数 $b \ne 1$), 设数列 $\{x_{n}\}$ 由 $f(x_{n})=n$ ($n=1,2,\dots$) 定义.

(1) 求 $x_{1}、x_{2}$ 和 $x_{n}$ 的表达式;

(2) 求 $f(x)$ 的表达式, 并写出其定义域;

(3) 证明: $y = f(x)$ 的图象与 $y=x$ 的图象没有横坐标大于 $1$ 的交点.

24. 如图, 给出定点 $A(a,0)$ ($a > 0$) 和直线 $l: x = -1$. $B$ 是直线 $l$ 上的动点, $\angle BOA$ 的角平分线交 $AB$ 于点 $C$. 求点 $C$ 的轨迹方程, 并讨论方程表示 的曲线类型与 $a$ 值的关系.