2024年浙江L16联盟返校适应性测试数学

1. 半径为 $2$ 的圆上长度为 $4$ 的圆弧所对的圆心角是（　　）

2. 直线 $l$ 过抛物线 $C:x^{2}=-4y$ 的焦点,且在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距相同,则 $l$ 的方程是（　　）

3. 如图,某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车,每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有 $4$ 个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行,且所挑单车不停靠于同一车桩,则不同的选法种数是（　　）

4. 随机变量 $X$ 服从正态分布 $X \sim N(1, \sigma^{2})$. 若 $P(1<X<3)=0.2$, 则 $P(X<1||X|>1)=$（　　）

5. 已知 $a>1, b>1$. 设甲 : $ae^{a}=be^{b}$, 乙 : $a^{e}=b^{e}$, 则（　　）

6. 已知复数 $z=a+bi$,其中 $a,b\in\mathbb{R}$ 且 $a+b=1$,则 $|z+1+i|$ 的最小值是（　　）

7. 高为 $3$, 长宽为 $2\sqrt{2}$ 的长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,以 $A_{1},C_{1},C$ 为球心的球 $O_{1},O_{2},O_{3}$ 两两相切,过 $B$ 点作球 $O_{3}$ 的切线 $PB$ 交球 $O_{3}$ 于点 $P,P$ 在长方体外部,则点 $P$ 的轨迹长度是（　　）

8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=1$,且对任意 $m,n\in\mathbb{N}^{*}(m>n)$ 均有 $a_{m+n}+a_{m-n}=2a_{m}+2a_{n}$. 记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,则 $S_{n}=$（　　）

9. 已知集合 $A=\{x\in\mathbb{R}|x^{2}+1=0\}, B=\{\emptyset\}$,则（　　）

10. 设 $\theta\in(0,\pi)$, 向量 $\vec{a}=(\sin\theta,\cos\theta)$, 向量 $\vec{b}=(\sin 2\theta,\cos 2\theta)$, 则（　　）

11. 已知函数 $f(x) = \ln^{2}x$, 曲线 $C:y=f(x)$. 过不在 $C$ 上的点 $P(a,b)(a>0)$ 恰能作两条 $C$ 的切线,切点分别为 $(x_{1},f(x_{1})), (x_{2},f(x_{2})) (x_{1}<x_{2})$,则（　　）

12. 已知函数 $f(x) = x\ln(e^{x}+1) - ax^{2}$ 是奇函数,则 $a=$ $\underline{\qquad}$.

13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=4$,且其前 $n$ 项和为公比为 $2$ 的等比数列. 则 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积是 $\underline{\qquad}.($用含 $n$ 的式子表示).

14. 已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 与平行于 $x$ 轴的动直线交于 $A,B$ 两点,点 $A$ 在点 $B$ 左侧,双曲线 $C$ 的左焦点为 $F$,且当 $AF \perp AB$ 时, $|AF|=|AB|$. 则双曲线的离心率是 $\underline{\qquad}$; 当直线运动时,延长 $BF$ 至点 $P$ 使 $|AF| = |FP|$,连接 $AP$ 交 $x$ 轴于点 $Q$,则 $\dfrac{|FQ|}{|FP|}$ 的值是 $\underline{\qquad}$.

15. 设函数 $f(x) = \dfrac{x^2}{ax}- \ln x - \dfrac{1}{x}(a\neq 0)$.

(1) $a=e$ 时,求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程;

(2) 证明: $f(x)$ 至多只有一个零点.

16. 如图,多面体 $ABCDEF$ 中,四边形 $ABED$ 与四边形 $ACFD$ 均为直角梯形. 已知点 $B,C,E,F$ 四点共面,且 $AD \perp AB, AD \perp AC$.

(1) 证明:

(i) 平面 $ABC //$ 平面 $DEF$;

(ii) 多面体 $ABCDEF$ 是三棱台;

(2) 若 $AB=AC=AD=1,DE=DF=2,BC=\sqrt{2}$,求平面 $BCEF$ 与平面 $DEF$ 所成角的余弦值.

17. 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$. 已知 $\sin A \sin B = \sin^{2}C$.

(1) 当角 $C$ 最大时,求其最大值并判断 $\triangle ABC$ 的形状;

(2) 若 $\triangle ABC$ 的中线 $|CD|=\sqrt{3}$,求 $\triangle ABC$ 面积的最大值.

18. 已知曲线 $C$ 由 $x^{2}+y^{2}=4(x\leq0)$ 和 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1(x>0)$ 组成,点 $A(-2,0)$,点 $B(2,0)$,点 $P,Q$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $|PA| + |PB|$ 的取值范围(当 $P$ 与 $A$ 重合时,$|PA|=0$);

(2) 若 $OP \perp OQ$,求 $\triangle OPQ$ 面积的取值范围.