2000年旧课程卷文

1. 设集合 $A = \{x \mid x \in \mathbb{Z}\text{且}-10 \le x \le -1\}$, $B = \{x \mid x \in \mathbb{Z}\text{且}|x| \le 5\}$, 则 $A \cup B$ 中的元素个数是（　　）

2. 在复平面内, 把复数 $3 - \sqrt{3}i$ 对应的向量按顺时针方向旋转 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$, 所得向量对应的复数是（　　）

3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$, 这个长方体对角线的长是（　　）

4. 已知 $\sin\alpha > \sin\beta$, 那么下列命题成立的是（　　）

5. 函数 $y = -x \cos x$ 的部分图象是（　　）

6. 《中华人民共和国个人所得税法》规定, 公民全月工资、薪金所得不超过 $800$ 元的部分不必纳税, 超过 $800$ 元的部分为全月应纳税所得额, 此项税款按下表分段累进计算:

某人一月份交纳此项税款 $26.78$ 元, 则他的当月工资、薪金所得介于（　　）

7. 若 $a > b > 1$, $P = \sqrt{\lg a \cdot \lg b}$, $\displaystyle Q = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$, $\displaystyle R = \lg\frac{a + b}{2}$, 则（　　）

8. 已知两条直线 $l_{1}: y = x$, $l_{2}: ax - y = 0$, 其中 $a$ 为实数. 当这两条直线的夹角在 $\displaystyle (0, \frac{\pi}{4})$ 内变动时, $a$ 的取值范围是（　　）

9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）

10. 过原点的直线与圆 $x^{2} + y^{2} + 4x + 3 = 0$ 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是（　　）

11. 过抛物线 $y = ax^{2}$ ($a > 0$) 的焦点 $F$ 作一直线交抛物线于 $P, Q$ 两点, 若线段 $PF$ 与 $FQ$ 的长分别是 $p, q$, 则 $\displaystyle \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}$ 等于（　　）

12. 如图, $OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线, $OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分, 则母线与轴的夹角为（　　）

13. 乒乓球队的 $10$ 名队员中有 $3$ 名主力队员, 派 $5$ 名参加比赛, $3$ 名主力队员要安排在第一、三、五位置, 其余 $7$ 名队员选 $2$ 名安排在第二、四位置, 那么不同的出场安排共有 ______ 种 (用数字作答).

14. 椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+ \frac{y^{2}}{4}= 1$ 的焦点 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 为其上的动点, 当 $\angle F_{1} P F_{2}$ 为钝角时, 点 $P$ 横坐标的取值范围是 ______ .

15. 设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列, 且 $(n+1)a_{n+1}^{2} - na_{n}^{2} + a_{n+1}a_{n} = 0$ ($n = 1, 2, 3, \dots$), 则它的通项公式是 $a_{n} =$ ______ .

16. 如图, $E, F$ 分别为正方体面 $ADD_{1}A_{1}$、面 $BCC_{1}B_{1}$ 的中心, 则四边形 $BFD_{1}E$ 在该正方体的面上的射影可能是 ______ (要求: 把可能的图序号都填上)

17. 已知函数 $y = \sqrt{3}\sin x + \cos x, x \in \mathbb{R}$.

(1) 当函数 $y$ 取得最大值时, 求自变量 $x$ 的集合;

(2) 该函数的图象可由 $y = \sin x$ ($x \in \mathbb{R}$) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

18. 如图, 已知平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 上菱形, 且 $\angle C_{1}CB = \angle C_{1}CD = \angle BCD$.

(1) 证明: $C_{1}C \perp BD$;

(2) 当 $\displaystyle \frac{CD}{C_{1}C}$ 的值为多少时, 能使 $A_{1}C \perp$ 平面 $C_{1}BD$? 请给出证明.

19. 设函数 $f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}- ax$, 其中 $a > 0$.

(1) 解不等式 $f(x) \le 1$;

(2) 证明: 当 $a \ge 1$ 时, 函数 $f(x)$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上是单调函数.

20. (1) 已知数列 $\{C_{n}\}$, 其中 $C_{n} = 2^{n} + 3^{n}$, 且数列 $\{C_{n+1}- pC_{n}\}$ 为等比数列, 求常数 $p$;

(2) 设 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 是公比不相等的两个等比数列, $C_{n} = a_{n} + b_{n}$, 证明数列 $\{C_{n}\}$ 不是等比数列.

21. 某蔬菜基地种植西红柿, 由历年市场行情得知, 从二月一日起的 $300$ 天内, 西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.

(1) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 $p = f(t)$ 和图二表示的种植成本与时间的函数关系式 $Q = g(t)$;

(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益, 问何时上市的西红柿纯收益最大?

注: 市场售价各种植成本的单位: 元/102kg, 时间单位: 天.

22. 如图, 已知梯形 $ABCD$ 中 $|AB| = 2|CD|$, 点 $E$ 分有向线段 $AC$ 所成的比为 $\lambda$, 双曲线过 $C, D, E$ 三点, 且以 $A, B$ 为焦点, 当 $\displaystyle \frac{2}{3}\le \lambda \le \frac{3}{4}$ 时, 求双曲线离心率 $e$ 的取值范围.