1985年全国卷文科

1. 如果正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 $a$,那么四面体 $A'-ABD$ 的体积是（　　）

2. $\tan x = 1$ 是 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ 的（　　）

3. 设集合 $X = \{0, 1, 2, 4, 5, 7\}$, $Y = \{1, 3, 6, 8, 9\}$, $Z = \{3, 7, 8\}$,那么集合 $(X \cap Y) \cup Z$ 是（　　）

4. 在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 $(0, \pi)$ 上的增函数又是以 $\pi$ 为周期的偶函数（　　）

5. 用 $1,2,3,4,5$ 这五个数字,可以组成比 $20000$ 大,并且百位数不是数字 $3$ 的没有重复数字的五位数,共有（　　）

6. 求函数 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x-1}$ 的定义域.

7. 求圆锥曲线 $3x^{2}-y^{2}+6x+2y-1=0$ 的离心率.

8. 求函数 $y = -x^{2}+4x-2$ 在区间 $[0,3]$ 上的最大值和最小值.

9. 设 $(3x - 1)^{6} = a_{6}x^{6} + a_{5}x^{5} + a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$,求 $a_{6} + a_{5} + a_{4} + a_{3} + a_{2} + a_{1}+a_{0}$ 的值.

10. 设 $i$ 是虚数单位,求 $(1+i)^{8}$ 的值.

11. 设 $S_{1} = 1^{2}$, $S_{2} = 1^{2} + 2^{2} + 1^{2}$, $S_{3} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 1^{2}$, $\ldots$, $S_{n}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}+\ldots+3^{2}+2^{2}+1^{2}, \ldots$. 用数学归纳法证明:公式 $\displaystyle S_{n} = \frac{n(2n^{2} + 1)}{3}$ 对所有的正整数 $n$ 都成立.

12. 证明三角恒等式: $2\sin^{4} x+\sin^{2} 2x - 3\sin^{2} 2x+5\cos^{4} x - \cos 3x \cos x = 2(1+\cos^{2} x)$.

13. 解方程: $\lg(3 - x) - \lg(3+x) = \lg(1-x) - \lg(2x + 1)$.

14. 解不等式: $\sqrt{2x+5}> x+1$.

15. 已知三棱锥 $V-ABC$ 的三个侧面与底面所成的二面角都是 $\beta$,它的高是 $h$.求这个所棱锥底面的内切圆半径.

16. 已知圆 $C: x^{2} + y^{2} + 4x - 12y+39=0$ 和直线 $L: 3x-4y+5=0$.求圆 $C$ 关于直线 $L$ 的对称的圆的方程.

17. 设首项为 $1$,公比为 $q(q> 0)$ 的等比数列的前 $n$ 项之和为 $S_{n}$.又设 $\displaystyle T_{n} = \frac{S_{n}}{S_{n+1}}$, $n = 1,2,...$ 求 $\lim\limits_{n\to\infty}T_{n}$.