2024年新高考一卷

1. 已知集合 $A = \{x | -5 < x < 5\}$, $B = \{-3, -1, 0, 2, 3\}$, 则 $A \cap B =$（　　）

2. 若 $\dfrac{z}{z-1}= 1 + i$, 则 $z =$（　　）

3. 已知向量 $\boldsymbol{a}= (0,1)$, $\boldsymbol{b}= (2,x)$, 若 $\boldsymbol{b}\perp (\boldsymbol{b}-4\boldsymbol{a})$ 则 $x =$（　　）

4. 已知 $\cos(\alpha + \beta) = m$, $\tan \alpha \tan \beta = 2$, 则 $\cos(\alpha - \beta) =$（　　）

5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为 $\sqrt{3}$,则圆锥的体积为（　　）

6. 已知函数 $f(x) = \begin{cases}-x^{2}-2ax-a,&x < 0, \\ e^{x}+ \ln(x+1),&x \geq 0,\end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增,则 $a$ 的取值范围是（　　）

7. 当 $x \in [0,2\pi]$ 时,曲线 $y=\sin x$ 与 $y = 2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的交点个数为（　　）

8. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, $f(x) > f(x-1)+f(x-2)$,且当 $x<3$ 时 $f(x) = x$, 则下列结论中一定正确的是（　　）

9. 随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入 (单位:万元) 情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 $= 2.1$,样本方差 $s^{2}= 0.01$.已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N (1.8,0.1^{2})$,假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N(\overline{x},s^{2})$,则 (若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (\mu, \sigma^{2})$, 则 $P(Z < \mu + \sigma) \approx 0.8413$)（　　）

10. 设函数 $f(x) = (x-1)^{2}(x-4)$,则（　　）

11. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中曲线C的一部分,已知过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于-2;到点F(2,0)的距离与到定直线 $x = a$ (a<0)的距离之积为4.则 ()

（　　）

12. 设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ ($a > 0, b > 0$) 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$. 过 $F_{2}$ 作平行于 $y$ 轴的直线交 $C$ 于 $A, B$ 两点. 若 $|F_{1}A| = 13$, $|AB| = 10$, 则 $C$ 的离心率为 $\underline{\qquad}$.

13. 若曲线 $y=e^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 的切线,则 $a =$ $\underline{\qquad}$.

14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 $\underline{\qquad}$.

15. 记 $\triangle ABC$ 的内角A, B, C的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $\sin C = \sqrt{2}\cos B$, $a^{2}+ b^{2}- c^{2}= \sqrt{2}ab$.

(1) 求 $B$;

(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $3+\sqrt{3}$,求 $C$.

16. 已知 $A(0,3)$ 和 $P\left(3,\dfrac{9}{2}\right)$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(a > b > 0)$ 上两点.

(1) 求C的离心率;

(2) 若过 $P$ 的直线 $l$ 交C于另一点 $B$,且 $\triangle ABP$ 的面积为9,求 $l$ 的方程.

17. 如图,四棱锥 $P$-$ABCD$ 中, $PA \perp$ 底面 $ABCD$, $PA = PC = 2$, $BC = 1$, $AB = \sqrt{3}$.

(1) 若 $AD \perp PB$, 证明: $AD \parallel$ 平面 $PBC$;

(2) 若 $AD \perp DC$, 且二面角 $A$-$CP$-$D$ 的正弦值为 $\dfrac{\sqrt{42}}{7}$,求 $AD$.

18. 已知函数 $f(x) = \ln \dfrac{x}{x-2}+ ax + b(x - 1)^{3}$.

(1) 若 $b=0$,且 $f'(x) \geq 0$,求 $a$ 的最小值;

(2) 证明:曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形;

(3) 若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$,求 $b$ 的取值范围.

19. 设 $m$ 为正整数,数列 $a_{1}, a_{2},\ldots, a_{4m+2}$ 是公差不为0的等差数列,若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}$ $(i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组,且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列,则称数列 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有的 $(i, j)$, $1 \leq i < j \leq 6$,使得数列 $a_{1}, a_{2},\ldots, a_{6}$ 是 $(i,j)$-可分数列;

(2) 当 $m \geq 3$ 时,证明:数列 $a_{1}, a_{2},\ldots, a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列;

(3) 从 $1,2,\ldots, 4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j$ $(i<j)$,记数列 $a_{1}, a_{2},\ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_{m}$,证明: $P_{m}> \dfrac{1}{8}$.