2023-2024年浙江宁波市高三下学期高考模拟考试

1. 复数 $z$ 满足 $(2+i)z=5$,则 $|z| =$（　　）

2. 若 $\alpha$ 为锐角, $\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$,则 $\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})=$（　　）

3. 已知平面 $\alpha,\beta,\gamma,\alpha \cap \beta = l$,则“$l \perp \gamma$”是“$\alpha \perp \gamma$ 且 $\beta \perp \gamma$”的（　　）

4. 已知直线 $l:x-y+1=0$ 与圆 $C:x^{2}+y^{2}-2x-m=0$ 相离,则实数 $m$ 的取值范围是（　　）

5. 某校数学建模兴趣小组为研究本地区儿子身高 $y(\text{cm})$ 与父亲身高 $x(\text{cm})$ 之间的关系,抽样调查后得出 $y$ 与 $x$ 线性相关,且经验回归方程为 $\hat{y}=0.85x+29.5$. 调查所得的部分样本数据如下:

则下列说法正确的是（　　）

6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}= \lambda n^{2}-n$,对任意 $n \in \{1,2,3\}$ 都有 $a_{n}>a_{n+1}$,且对任意 $n \in \{n|n\geq 7, n\in N\}$ 都有 $a_{n}<a_{n+1}$,则实数 $\lambda$ 的取值范围是（　　）

7. 在正四棱台 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $AB = 4$, $A_{1}B_{1}= 2$, $AA_{1}= \sqrt{3}$,若球 $O$ 与上底面 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 以及棱 $AB,BC,CD,DA$ 均相切,则球 $O$ 的表面积为（　　）

8. 已知集合 $P = \{(x,y)|x^{2}+ax-2024=0 \text{ 且 }xy=2024\}$,若 $P$ 中的点均在直线 $y=2024x$ 的同一侧,则实数 $a$ 的取值范围为（　　）

9. 若平面向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=1, |\vec{c}|=3$ 且 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}$,则（　　）

(A) $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的最小值为 $2$

(B) $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的最大值为 $5$

(C) $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|$ 的最小值为 $2$

(D) $|\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}|$ 的最大值为 $\sqrt{13}$

10. 已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega>0)$, ($|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$)（　　）

(A) 若 $\omega=2,\varphi=-\dfrac{\pi}{6}$,则 $f(x)$ 是最小正周期为 $\pi$ 的偶函数

(B) 若 $\omega=2,x_{0}$ 为 $f(x)$ 的一个零点,则 $x_{0}+\dfrac{\pi}{2}$ 必为 $f(x)$ 的一个极大值点

(C) 若 $\varphi=-\dfrac{\pi}{6},x=\dfrac{\pi}{6}$ 是 $f(x)$ 的一条对称轴,则 $\omega$ 的最小值为 $3$

(D) 若 $\varphi=-\dfrac{\pi}{4},f(x)$ 在 $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ 上单调,则 $\omega$ 的最大值为 $\dfrac{9}{2}$

11. 指示函数是一个重要的数学函数,通常用来表示某个条件的成立情况. 已知 $U$ 为全集且元素个数有限,对于 $U$ 的任意一个子集 $S$,定义集合 $S$ 的指示函数 $1_{S}(x)$, $1_{S}(x) = \begin{cases}1,x\in S \\ 0,x\in (U \setminus S)\end{cases}$. 若 $A,B,C \subseteq U$,则（　　）

(A) $\sum\limits_{x\in A}1_{A}(x) < \sum\limits_{x\in U}1_{A}(x)$

(B) $1_{A\cap B}(x) \leq 1_{A}(x) \leq 1_{A\cup B}(x)$

(C) $1_{A\cup B}(x) = \sum\limits_{x\in U}(1_{A}(x)+1_{B}(x)-1_{A}(x)1_{B}(x))$

(D) $\sum\limits_{x\in U}(1-1_{A}(x))(1-1_{B}(x))(1-1_{C}(x)) = \sum\limits_{x\in U}1_{\complement_{U}(A\cup B\cup C)}(x)$

12. $\triangle ABC$ 中, $AB = 1$, $AC = 2$, $\cos A = \dfrac{1}{4}$,则 $BC =$ $\underline{\qquad}$.

13. 某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙,需要经过 $5$ 个转运环节,其中第 $1,2$ 两个环节各有 $a,b$ 两种运输方式,第 $3,4$ 两个环节各有 $b,c$ 两种运输方式,第 $5$ 个环节有 $d,e$ 两种运输方式. 则快件从甲送到乙恰用到 $4$ 种运输方式的不同送达方式有 $\underline{\qquad}$ 种.

14. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,定义 $d(A,B) = |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$ 为 $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$ 两点间的“曼哈顿距离”. 已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{2}+y^{2}=1$,点 $P,Q,R$ 在椭圆 $C$ 上, $PQ \perp x$ 轴. 点 $M,N$ 满足 $\overrightarrow{RM}= \overrightarrow{MP}, \overrightarrow{PN}= 2\overrightarrow{NQ}$. 若直线 $MQ$ 与 $NR$ 的交点在 $x$ 轴上,则 $d(R,Q)$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$.

15. 在菱形 $ABCD$ 中, $AB = 2$, $\angle BAD = 60^{\circ}$,以 $AB$ 为轴将菱形 $ABCD$ 翻折到菱形 $ABC_{1}D_{1}$,使得平面 $ABC_{1}D_{1}\perp$ 平面 $ABCD$,点 $E$ 为边 $BC_{1}$ 的中点,连接 $CE, DD_{1}$.

(1) 求证: $CE \parallel$ 平面 $ADD_{1}$;

(2) 求直线 $CE$ 与平面 $BDD_{1}$ 所成角的正弦值.

16. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $2$,记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, $b_{1}=0,b_{2}=2$ 且满足 $b_{n+1}=2S_{n}+a_{n}$.

(1) 证明:数列 $\{b_{n}+1\}$ 是等比数列;

(2) 求数列 $\{a_{n}b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$.

17. 三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动,红包的总金额数为 $3n(n\geq 2,n\in N)$ 个单位. 第一个人抢到的金额数为 $1$ 到 $2n-1$ 个单位且等可能(记第一个人抢完后剩余的金额数为 $W$),第二个人在剩余的 $W$ 个金额数中抢到 $1$ 到 $W-1$ 个单位且等可能,第三个人抢到剩余的所有金额数,并且每个人抢到的金额数均为整数个单位. 三个人都抢完后,获得金额数最高的人称为手气王(若有多人金额数相同且最高,则先抢到最高金额数的人称为手气王).

(1) 若 $n=2$,则第一个人抢到的金额数可能为 $1,2,3$ 个单位且等可能.

(i) 求第一个人抢到金额数 $X$ 的分布列与期望;

(ii) 求第一个人获得手气王的概率;

(2) 在三个人抢到的金额数为 $2,3,4$ 的一个排列的条件下,求第一个人获得手气王的概率.

18. 已知双曲线 $C:y^{2}-x^{2}=1$,上顶点为 $D$,直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的两支分别交于 $A,B$ 两点 ($B$ 在第一象限),与 $x$ 轴交于点 $T$. 设直线 $DA,DB$ 的倾斜角分别为 $\alpha,\beta$.

(1) 若 $T(\sqrt{3},0)$,

(i) 若 $A(0,-1)$,求 $\beta$;

(ii) 求证: $\alpha+\beta$ 为定值;

(2) 若 $\beta=\dfrac{\pi}{6}$,直线 $DB$ 与 $x$ 轴交于点 $E$,求 $\triangle BET$ 与 $\triangle ADT$ 的外接圆半径之比的最大值.

19. 定义:对于定义在区间 $[a,b]$ 上的函数,若存在实数 $c\in (a,b)$,使得函数在区间 $[a,c]$ 上单调递增(递减),在区间 $[c,b]$ 上单调递减(递增),则称这个函数为单峰函数且称 $c$ 为最优点. 已知定义在区间 $[a,b]$ 上的函数 $f(x)$ 是以 $c$ 为最优点的单峰函数,在区间 $(a,b)$ 上选取关于区间的中心 $\dfrac{a+b}{2}$ 对称的两个试验点 $x_{1},x_{2}$,称使得 $|f(x_{i})-f(c)|(i=1,2)$ 较小的试验点 $x_{i}$ 为好点(若相同,就任选其一),另一个称为差点.容易发现,最优点 $c$ 与好点在差点的同一侧,我们以差点为分界点,把区间 $[a,b]$ 分成两部分,并称好点所在的部分为存优区间,设存优区间为 $[a_{1},b_{1}]$,再对区间 $[a_{1},b_{1}]$ 重复以上操作,可以找到新的存优区间 $[a_{2},b_{2}]$,同理可依次找到存优区间 $[a_{3},b_{3}], [a_{4},b_{4}], \dots$,满足 $[a,b] \supseteq [a_{1},b_{1}] \supseteq [a_{2},b_{2}] \supseteq [a_{3},b_{3}] \supseteq [a_{4},b_{4}] \supseteq \dots$,可使存优区间长度逐步减小,为了方便找到最优点(或者接近最优点),从第二次操作起,将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点,若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数,则称这样的操作是“优美的”,得到的每一个存优区间都称为优美存优区间,称为优美存优区间常数. 对区间 $[a,b]$ 进行 $n$ 次“优美的”操作,最后得到优美存优区间 $[a_{n},b_{n}]$,令 $\epsilon_{n}=\dfrac{b_n-a_n}{b-a}$,我们可任取区间 $[a_{n},b_{n}]$ 内的一个实数作为最优点 $c$ 的近似值,称之为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上精度为 $\epsilon_{n}$ 的“合规近似值”,记作 $x_{\epsilon_n}(f,[a,b])$. 已知函数 $f(x) = (x+1)\cos x - 1,x\in [0,\dfrac{\pi}{2}]$,函数 $g(x) = \sin x - \ln(1+\pi-x),x\in [\dfrac{\pi}{2},\pi]$.

(1) 求证:函数 $f(x)$ 是单峰函数;

(2) 已知 $c$ 为函数 $f(x)$ 的最优点, $d$ 为函数 $g(x)$ 的最优点.

(i) 求证: $c+d<\pi$;

(ii) 求证: $x_{\epsilon_n}(g,[\dfrac{\pi}{2},\pi])-x_{\epsilon_n}(f,[0,\dfrac{\pi}{2}]) > d-c-\dfrac{\pi}{10}$.