2001年上海卷理科

1. 设函数 $f(x) = \begin{cases}2,&x \in (-\infty, 1] \\ \log_{8}x,&x \in (1, +\infty)\end{cases}$，则满足 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{4}$ 的值为 ______.

2. 设数列 $a_{n}$ 的通项为 $a_{n} = 2n - 7$ ($n \in N$), 则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10}=_{_{_{_{_{_{}}}}}}$.

3. 设 $P$ 为双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}- \frac{y^{2}}{1}= 1$ 上一动点, $O$ 为坐标原点, $M$ 为线段 $OP$ 的中点, 则点 $M$ 的轨迹方程为 ______.

4. 设集合 $A = \{ x \mid 2\lg x = \lg(8x - 15), x \in R \}$, $\displaystyle B = \{ x \mid \cos \frac{x}{2}> 0, x \in R \}$, 则 $A \cap B$ 的元素个数为 ______ 个.

5. 抛物线 $x^{2} - 4y - 3 = 0$ 的焦点坐标为 ______.

6. 设数列 $a_{n}$ 是公比 $q > 0$ 的等比数列, $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和. $\lim\limits_{n \to \infty}S_{n} = 7$, 则此数列的首项 $a_{1}$ 的取值范围是 ______.

7. 某餐厅供应客饭, 每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种, 现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜, 若要保证每位顾客有 200 种以上不同的选择, 则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种 ______ 种.(结果用数值表示)

8. 在代数式 $\displaystyle (4x^{2} - 2x - \frac{5}{x})^{5} (1 + \frac{1}{x})^{5}$ 的展开式中, 常数项为 ______.

9. 设 $\displaystyle x = \sin \alpha, \alpha \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$, 则 $\operatorname{arc}\cos x$ 的取值范围为 ______.

10. 直线 $y = 2x - 1$ 与曲线 $\begin{cases}x = \sin \phi \\ y = \cos 2\phi\end{cases}$ ($\phi$ 为参数) 的交点坐标为 ______.

11. 已知两个圆: $x^{2} + y^{2} = 1$ (1) 与 $x^{2} + (y-3)^{2} = 1$ (2), 则由 (1) 式减去 (2) 式可得上述两圆的对称轴方程. 将上述命题在曲线的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为 ______.

12. 据报道, 我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一, 下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况, 由图中的相关信息, 可将上述有关年代中, 我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为:

土地沙化总面积 (万平方公里)

年平均土地沙化总面积 (百平方公里)

13. $a = 3$ 是直线 $ax + 2y + 3a = 0$ 和直线 $3x + (a-1)y = a - 7$ 平行且不重合的（　　）

14. 在平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $M$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点, 若 $\vec{A_1B_1}= \vec{a}$、 $\vec{A_1D_1}= \vec{b}$、 $\vec{A_1A}= \vec{c}$, 则下列向量中与 $\vec{B_1M}$ 相等的向量是（　　）

15. 已知 $a, b$ 为两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 为两个不同的平面, 且 $a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则下列命题中的假命题是（　　）

16. 用计算器验算函数 $\displaystyle y = \frac{\lg x}{x^{2}}$ ($x > 1$) 的若干个值, 可以猜想下列命题中的真命题只能是（　　）

17. 已知 $a, b, c$ 是 $\triangle ABC$ 中 $\angle A, \angle B, \angle C$ 的对边, $S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积, 若 $a = 4, b = 5, S = 5\sqrt{3}$, 求 $c$ 的长度.

18. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+ \frac{y^{2}}{1}= 1$ 的两个焦点, $P$ 为椭圆上的一点. $P, F_{1}, F_{2}$ 是一个直角三角形的三个顶点, 且 $|PF_{1}| > |PF_{2}|$, 求 $\displaystyle \frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}$ 的值.

19. 在棱长为 $a$ 的正方体 $OABC - O'A'B'C'$ 中, $E, F$ 分别是棱 $AB, BC$ 上的动点, 且 $AE = BF$.

(1) 求证: $A'F \perp C'E$;

(2) 当三棱锥 $B' - BEF$ 的体积取得最大值时, 求二面角 $B' - EF - B$ 的大小.(结果用反三角函数表示)

20. 对任意一个非零复数 $z$, 定义集合 $M_{z} = \{ w \mid w = z^{2n-1}, n \in N \}$.

(1) 设 $a$ 是方程 $\displaystyle x + \frac{1}{x}= \sqrt{2}$ 的一个根, 试用列举法表示集合 $M_{a}$. 若在 $M_{a}$ 中任取两个数, 求其和为零的概率 $P$;

(2) 设复数 $w \in M_{z}$, 求证: $M_{z} \subset M_{z}$.

21. 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药, 对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定: 用 1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药用量的 $\displaystyle \frac{1}{2}$, 用水越多洗掉的农药量也越多, 但总还有农药残留在蔬菜上, 设用 $x$ 单位量的水清洗一次以后, 蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有农药量之比为函数 $f(x)$.

(1) 试规定 $f(0)$ 的值, 并解释其实际意义;

(2) 试根据假定写出函数 $f(x)$ 应该满足的条件和具有的性质;

(3) 设 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{1 + 2x}$. 现有 $a$ ($a > 0$) 单位量的水, 可以清洗一次, 也可以把水平均分成 2 份后清洗两次, 试问用哪种方案清洗后蔬菜上的农药量比较少? 说明理由.

22. 对任意函数 $f(x), x \in D$, 可按图示构造一个数列发生器, 其工作原理如下:

①输入数据 $x_{0} \in D$, 经数列发生器输出 $x_{1} = f(x_{0})$;

②若 $x_{1} \notin D$, 则数列发生器结束工作; 若 $x_{1} \in D$, 则将 $x_{1}$ 反馈回输入断, 再输出 $x_{2} = f(x_{1})$, 并依此规律继续下去. 现定义 $\displaystyle f(x) = \frac{4x - 2}{x + 1}$.

(1) 若输出 $\displaystyle x_{0} = \frac{49}{65}$, 则由数列发生器产生数列 $\{ x_{n} \}$. 请写出数列 $\{ x_{n} \}$ 的所有项;

(2) 若要数列发生器产生一个无穷的常数数列, 试求输出的初始数据 $x_{0}$ 的值;

(3) 若输出 $x_{0}$ 时, 产生的无穷数列 $\{ x_{n} \}$ 满足: 对任意正整数 $n$ 均有 $x_{n} < x_{n+1}$, 求 $x_{0}$ 的取值范围.