2003年北京卷理

1. 设集合 $A = \{x \mid x^{2} - 1 > 0\}$, $B = \{x \mid \log_{2} x > 0\}$, $A \cap B$ 等于 ().（　　）

2. 设 $y_{1} = 4^{0.9}$, $y_{2} = 8^{0.44}$, $y_{3} = (\dfrac{1}{2})^{-1.5}$, 则 ().（　　）

3. “$\cos 2\alpha = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$”是“$\alpha = k\pi + \dfrac{5\pi}{12}, k \in \mathbf{Z}$”的 ().（　　）

4. 已知 $\alpha, \beta$ 是平面，$m, n$ 是直线, 下列命题中不正确的是 ().（　　）

5. 极坐标方程 $\rho^{2} \cos 2\theta - 2\rho \cos \theta = 1$ 表示的曲线是 ().（　　）

6. 若 $z \in \mathbf{C}$ 且 $|z+2-2i|=1$, 则 $|z-2-2i|$ 的最小值是 ().（　　）

7. 如果圆台的母线与底面成 $60^{\circ}$ 角, 那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ().（　　）

8. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 $4$ 种蔬菜品种中选出 $3$ 种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不同的种植方法共有 ().（　　）

9. 若数列 $a_{n}$ 的通项公式是 $a_{n} = \dfrac{3^{-n+2^{-n}}+(-1)^n(3^{-n}-2^{-n})}{2}, n = 1, 2, \dots$, 则 $\lim\limits_{n\to\infty}(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})$ 等于 ().（　　）

10. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人, 全班 $k$ 名同学都有选举权和被选举权, 他们的编号分别为 $1,2,\dots,k$. 规定: 同意按“$1$”, 不同意(含弃权)按“$0$”, 令 $a_{ij}= \begin{cases}1, & \text{第 } i \text{ 号同学同意第 } j \text{ 号同学当选,} \\ 0, & \text{第 } i \text{ 号同学不同意第 } j \text{ 号同学当选,}\end{cases}$ 其中 $i=1,2,\dots,k$, 且 $j=1,2,\dots,k$, 则同时同意第 $1,2$ 号同学当选的人数为 ().（　　）

11. 函数 $f(x) = \lg(1+x^{2})$, $g(x) = \begin{cases}0,&x < -1, \\ x+2,&|x| \le 1, \\ -x+2,&x > 1,\end{cases}$ $h(x) = \tan 2x$ 中, $\underline{\qquad}$ 是偶函数.

12. 以双曲线 $\dfrac{x^2}{16}- \dfrac{y^2}{9}= 1$ 右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是 $\underline{\qquad}$.

13. 如图, 已知底面半径为 $r$ 的圆柱被一个平面所截, 剩下部分母线长的最大值为 $a$, 最小值为 $b$, 那么圆柱被截后剩下部分的体积是 $\underline{\qquad}$.

14. 将长度为 $1$ 的铁丝分成两段, 分别围成一个正方形和一个圆形, 要使正方形与圆的面积之和最小, 正方形的周长应为 $\underline{\qquad}$.

15. 已知函数 $f(x) = \cos^{2} x - 2\sin x \cos x - \sin^{2} x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;

(2) 若 $x \in [0, \dfrac{\pi}{2}]$, 求 $f(x)$ 的最大值、最小值.

16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列, 且 $a_{1} = 2$, $a_{1}+a_{2}+a_{3} = 12$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 令 $b_{n} = a_{n} x^{n} \quad (x \in \mathbf{R})$. 求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和的公式.

17. 如图, 正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的底面边长的 $3$, 侧棱 $AA_{1} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$, $D$ 是 $CB$ 延长线上一点, 且 $BD = BC$.

(1) 求证: 直线 $BC_{1} \parallel$ 平面 $AB_{1}D$;

(2) 求二面角 $B_{1}-AD-B$ 的大小;

(3) 求三棱锥 $C_{1}-AB_{1}D$ 的体积.

18. 如图, 椭圆的长轴 $A_{1}A_{2}$ 与 $x$ 轴平行, 短轴 $B_{1}B_{2}$ 在 $y$ 轴上, 中心为 $M(0,r)$ $(b > r > 0)$.

(1) 写出椭圆的方程, 求椭圆的焦点坐标及离心率;

(2) 直线 $y=k_{1}x$ 交椭圆于两点 $C(x_{1}, y_{1})$, $D(x_{2}, y_{2})$ $(y_{2}>0)$; 直线 $y=k_{2}x$ 交椭圆于两点 $G(x_{3}, y_{3})$, $H(x_{4}, y_{4})$ $(y_{4}>0)$. 求证: $\dfrac{k_1x_1x_2}{x_1+x_2}= \dfrac{k_2x_3x_4}{x_3+x_4}$;

(3) 对于 (2) 中的 $C, D, G, H$, 设 $CH$ 交 $x$ 轴于点 $P$, $GD$ 交 $x$ 轴于点 $Q$. 求证: $|OP|=|OQ|$. (证明过程不考虑 $CH$ 或 $GD$ 垂直于 $x$ 轴的情形)

19. 有三个新兴城镇, 分别位于 $A, B, C$ 三点处, 且 $AB = AC = a$, $BC = 2b$. 今计划合建一个中心医院, 为同时方便三镇, 准备建在 $BC$ 的垂直平分线上的 $P$ 点处. (建立坐标系如图)

(1) 若希望点 $P$ 到三镇距离的平方和为最小, 点 $P$ 应位于何处?

(2) 若希望点 $P$ 到三镇的最远距离为最小, 点 $P$ 应位于何处?

20. 设 $y=f(x)$ 是定义在区间 $[-1,1]$ 上的函数, 且满足条件:

① $f(-1) = f(1) = 0$;

② 对任意的 $u, v \in [-1,1]$, 都有 $|f(u)-f(v)| \le |u-v|$.

(1) 证明: 对任意的 $x \in [-1,1]$, $x-1 < f(x) < 1-x$;

(2) 证明: 对任意的 $u, v \in [-1,1]$, $|f(u)-f(v)| \le 1$;

(3) 在区间 $[-1,1]$ 上是否存在满足题设条件的奇函数 $y=f(x)$, 且使得 $|f(u)-f(v)| < |u-v|, u, v \in [0, \dfrac{1}{2}]$, 若存在, 请举一例; 若不存在, 请说明理由.

$|f(u)-f(v)| = |u-v|, u, v \in [\dfrac{1}{2}, 1]$.