2001年上海卷文

1. 设函数 $f(x) = \log_{2}x$，则满足 $f(x) = \dfrac{1}{2}$ 的值为 $\underline{\qquad}$.

2. 设数列 $a_{n}$ 的首项 $a_{1} = -7$，且满足 $a_{n+1}= a_{n} + 2 \quad (n \in \mathbf{N})$，则 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{17}=$ $\underline{\qquad}$.

3. 设 $P$ 为双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上一动点，$O$ 为坐标原点，$M$ 为线段 $OP$ 的中点，则点 $M$ 的轨迹方程为 $\underline{\qquad}$.

4. 设集合 $A = \{x \mid 2\lg x = \lg (8x-15), x \in \mathbf{R}\}$，$B = \{x \mid \cos \dfrac{x}{2}> 0, x \in \mathbf{R}\}$，则 $A \cap B$ 的元素个数为 $\underline{\qquad}$ 个.

5. 抛物线 $x^{2}-4y-3=0$ 的焦点坐标为 $\underline{\qquad}$.

6. 设数列 $a_{n}$ 是公比 $q > 0$ 的等比数列，$S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和. $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n} = 7$，则此数列的首项 $a_{1}$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$.

7. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 $2$ 荤 $2$ 素共 $4$ 种不同的品种，现在餐厅准备了 $5$ 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有 $200$ 种以上不同的选择，则餐厅至少还需要准备不同的素菜品种 $\underline{\qquad}$ 种.(结果用数值表示)

8. 在代数式 $(x^{2} - \dfrac{1}{x})^{9}$ 的展开式中，常数项为 $\underline{\qquad}$.

9. 设 $x=\sin\alpha$, $\alpha \in [\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}]$，则 $\arccos x$ 的取值范围为 $\underline{\qquad}$.

10. 利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 $\underline{\qquad}$.

11. 已知两个圆: $x^{2}+y^{2}=1$ ①与 $x^{2}+(y-3)^{2}=1$ ②, 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程, 将上述命题在曲线的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题, 而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 推广的命题为 $\underline{\qquad}$.

12. 据报道, 我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一, 下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况, 由图中的相关信息, 可将上述有关年代中, 我国年平均土地沙化面积在下右图中图示为:

13. $a = 3$ 是直线 $ax+2y+3a=0$ 和直线 $3x+(a-1)y=a-7$ 平行且不重合的 ().（　　）

14. 在平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$M$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点, 若 $\vec{A_1B_1}= \vec{a}$、$\vec{A_1D_1}= \vec{b}$、$\vec{A_1A}= \vec{c}$，则下列向量中与 $\vec{B_1M}$ 相等的向量是 ().（　　）

15. 已知 $\alpha$、$\beta$ 为两条不同的直线，$\alpha$、$\beta$ 为两个不同的平面，且 $a \perp \alpha$, $b \perp \beta$，则下列命题中的假命题是 ().（　　）

16. 用计算器验算函数 $y = \dfrac{x}{\lg x}\quad (x>1)$ 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 ().（　　）

17. 已知 $a$、$b$、$c$ 是 $\triangle ABC$ 中 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的对边，$S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积, 若 $a=4$, $b=5$, $S = 5\sqrt{3}$，求 $c$ 的长度.

18. 设 $F_{1}$、$F_{2}$ 为椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+ \dfrac{y^2}{4}= 1$ 的两个焦点，$P$ 为椭圆上的一点. 已知 $P$、$F_{1}$、$F_{2}$ 是一个直角三角形的三个顶点, 且 $|PF_{1}| > |PF_{2}|$, 求 $\dfrac{|PF_1|}{|PF_2|}$ 的值.

19. 在棱长为 $a$ 的正方体 $OABC-O'A'B'C'$ 中，$E$、$F$ 分别是棱 $AB$、$BC$ 上的动点，且 $AE=BF$.

(1) 求证: $A'F \perp C'E$;

(2) 当三棱锥 $B'-BEF$ 的体积取得最大值时, 求二面角 $B'-EF-B$ 的大小.(结果用反三角函数表示)