2005年湖北卷理

1. 设 $P, Q$ 为两个非空实数集合, 定义集合 $P+Q = \{a + b | a \in P, b \in Q\}$. 若 $P = \{0, 2, 5\}$, $Q = \{1, 2, 6\}$, 则 $P+Q$ 中元素的个数是（　　）

2. 对任意实数 $a, b, c$, 给出下列命题:

① “$a = b$”是“$ac = bc$”充要条件;

②“$a+\sqrt{5}$是无理数”是“$a$是无理数”的充要条件;

③ “$a > b$”是“$a^{2}>b^{2}$”的充分条件;

④ “$a<5$”是“$a<3$”的必要条件.

其中真命题的个数是（　　）

3. $\dfrac{(1-i)(1 + 2i)}{1+i}=$（　　）

4. 函数 $y= e^{|\ln x - x-1|}$ 的图象大致是

（　　）

5. 双曲线 $\dfrac{x^2}{m}- \dfrac{y^2}{n}= 1$ ($mn \neq 0$) 离心率为 $2$, 有一个焦点与抛物线 $y^{2}= 4x$ 的焦点重合, 则 $mn$ 的值为（　　）

6. 在 $y = 2^{x}, y = \log_{2}x, y = x^{2}, y = \cos 2x$ 这四个函数中, 当 $0<X_{1}< X_{2}< 1$ 时, 使 $f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right) > \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ 恒成立的函数的个数是（　　）

7. 若 $\sin x + \cos \alpha = \tan \alpha$ $(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2})$, 则 $\alpha\in$（　　）

8. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{ax^2+b}{1-x^2}= 1$, 则常数 $a, b$ 的值为（　　）

9. 若 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$, 则 $2x$ 与 $3\sin x$ 的大小关系（　　）

10. 如图, 在三棱柱 $ABC - A'B'C'$ 中, 点 $E、F、H、K$ 分别为 $AC'、CB'、 A'B、B'C'$ 的中点, $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心, 从 $K、H、G、B'$ 中取一点作为 $P$, 使得该棱柱恰有 $2$ 条棱与平面 $PEF$ 平行, 则 $P$ 为

（　　）

11. 某初级中学有学生 $270$ 人, 其中一年级 $108$ 人, 二、三年级各 $81$ 人, 现要 利用抽样方法抽取 $10$ 人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样 和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、 三年级依次统一编号为 $1, 2, ..., 270$; 使用系统抽样时, 将学生统一随机编 号 $1, 2, ..., 270$, 并将整个编号依次分为 $10$ 段. 如果抽得号码有下列四种 情况:

① $7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250$;

② $5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265$;

③ $11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254$;

④ $30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270$;

关于上述样本的下列结论中, 正确的是（　　）

12. 以平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的任意三个顶点为顶点作三角形, 从中 随机取出两个三角形, 则这两个三角形不共面的概率 $p$ 为（　　）

13. 已知向量 $\vec{a}= (-2,2)$, $\vec{b}= (5, k)$. 若 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 不超过 $5$, 则 $k$ 的取值范围 是 $\underline{\qquad}$.

14. $\left(x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2}\right)^{5}$ 的展开式中整理后的常数项为 $\underline{\qquad}$.

15. 设等比数列$\{a_{n}\}$的公比为 $q$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若 $S_{n+1}, S_{n}, S_{n-1}$ 成等差 数列, 则 $q$ 的值为 $\underline{\qquad}$.

16. 某实验室需购某种化工原料 $106$ 千克, 现在市场上该原料有两种包装, 一 种是每袋 $35$ 千克, 价格为 $140$ 元; 另一种是每袋 $24$ 千克, 价格为 $120$ 元. 在满足需要的条件下, 最少要花费 $\underline{\qquad}$ 元.

17. 已知向量 $\vec{a}= (x^{2}, x + 1)$, $\vec{b}= (1 - x,t)$, 若函数 $f(x) = \vec{a}\cdot \vec{b}$ 在区间 $(-1,1)$上是增函数, 求 $t$ 的取值范围.

18. 在 $\triangle ABC$ 中, 已知 $AB = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$, $\cos B = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$, $AC$ 边上的中线 $BD = \sqrt{5}$, 求 $\sin A$ 的值.

19. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定: 每位考试者一年之内最多有 $4$ 次 参加考试的机会, 一旦某次考试通过, 便可领取驾照, 不再参加以后的考试, 否则就一直考到第 $4$ 次为止. 如果李明决定参加驾照考试, 设他每次参加 考试通过的概率依次为 $0.6, 0.7, 0.8, 0.9$, 求在一年内李明参加驾照考试次 数 $\xi$ 的分布列和 $\xi$ 的期望, 并求李明在一年内领到驾照的概率.

20. 如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 为矩形, 侧棱 $PA \perp$ 底面 $ABCD$, $AB = \sqrt{3}$, $BC = 1$, $PA = 2$, $E$ 为 $PD$ 的中点.

(1) 求直线 $AC$ 与 $PB$ 所成角的余弦值;

(2) 在侧面 $PAB$ 内找一点 $N$, 使 $NE \perp$ 面 $PAC$, 并求出 $N$ 点到 $AB$ 和 $AP$ 的距离.

21. 设 $A、B$ 是椭圆 $3x^{2}+y^{2}= \lambda$ 上的两点, 点 $N(1,3)$ 是线段 $AB$ 的中点, 线段 $AB$ 的垂直平分线与椭圆相交于 $C、D$ 两点.

(1) 确定 $\lambda$ 的取值范围, 并求直线 $AB$ 的方程;

(2) 试判断是否存在这样的 $\lambda$, 使得 $A、B、C、D$ 四点在同一个圆上? 并 说明理由.

22. 已知不等式 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}> [\log_{2}n]$, 其中 $n$ 为大于 $2$ 的整数, $[\log_{2}n]$ 表示 不超过 $\log_{2}n$ 的最大整数. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的各项为正, 且满足 $a_{1}= b (b > 0)$, $\dfrac{a_n}{n-1}= \dfrac{a_{n-1}}{n+a_{n-1}}$, $n = 2, 3, 4, ...$.

(1) 证明: $a_{n}< \dfrac{2b}{2+b[\log_2n]}$, $n = 3, 4, 5, ...$;

(2) 猜测数列 $\{a_{n}\}$ 是否有极限? 如果有, 写出极限的值(不必证明);

(3) 试确定一个正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时, 对任意 $b > 0$, 都有 $a_{n}< \dfrac{1}{2}$.