1996年全国卷理科

1. 已知全集 $I = \mathbb{N}$, 集合 $A = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbb{N}\}$, $B = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbb{N}\}$, 则（　　）

2. 当 $a>1$ 时,在同一坐标系中,函数 $y=a^{-x}$ 与 $y=\log_{a} x$ 的图象

📐 待生成图：函数y=a⁻ˣ与y=log_a x的图象

（　　）

3. 若 $\sin^{2} x > \cos^{2} x$,则 $x$ 的取值范围是（　　）

4. 复数 $\displaystyle \frac{(2+2i)^{4}}{(1-\sqrt{3}i)^{3}}$ 等于（　　）

5. 如果直线 $l,m$ 与平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 满足: $l = \beta \cap \gamma$, $l \parallel \alpha$, $m \subset \alpha$, $m \perp \gamma$, 那么必有（　　）

6. 当 $\displaystyle \frac{\pi}{6}\le x \le \frac{\pi}{3}$, $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ 的（　　）

7. 椭圆 $\begin{cases}x = 3+3\cos\varphi \\ y=-1+5\sin\varphi\end{cases}$ 的两个焦点坐标是（　　）

8. 若 $\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$,则 $\displaystyle \arcsin \left[\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right] + \arccos \left[\sin(\pi+\alpha)\right]$ 等于（　　）

9. 将边长为 $a$ 的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折起,使得 $BD = a$, 则三棱锥 $D-ABC$ 的体积为（　　）

10. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}=-1$,前 $n$ 项和为 $S_{n}$,若 $\displaystyle \frac{S_{10}}{S_{5}}= \frac{31}{32}$, 则 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$ 等于（　　）

11. 椭圆的极坐标方程为 $\displaystyle \rho = \frac{3}{2-\cos\theta}$, 则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（　　）

12. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $m$ 项和为 $30$, 前 $2m$ 项和为 $100$,则它的前 $3m$ 项和为（　　）

13. 设双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (0<a<b)$ 的半焦距为 $c$, 直线 $l$ 过 $(a,0), (0,b)$ 两点,已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}c$,则双曲线的离心率为（　　）

14. 母线长为 $1$ 的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角等于（　　）

15. 设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的奇函数, $f(x+2) = -f(x)$,当 $0 \le x \le 1$ 时, $f(x) = x$, 则 $f(7.5)$ 等于（　　）

16. 已知圆 $x^{2}+y^{2}-6x-7=0$ 与抛物线 $y^{2}=2px (p>0)$ 的准线相切,则 $p=$______.

17. 正六边形的中心和顶点共 $7$ 个点,以其中 $3$ 个点为顶点的三角形共有______个.(用数字作答)

18. $\tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \sqrt{3}\tan 20^{\circ} \tan 40^{\circ}$ 的值是______.

19. 如图,正方形 $ABCD$ 所在平面与正方形 $ABEF$ 所在平面成 $60^{\circ}$ 的二面角,则异面直线 $AD$ 与 $BF$ 所成角的余弦值是______.

📐 待生成图：正方形ABCD与ABEF成60度二面角

20. 解不等式: $\log_{a}(x+1-a)>1$.

21. 已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足: $A+C=2B$, $\displaystyle \frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}=\frac{\sqrt{2}}{\cos B}$. 求 $\displaystyle \cos\frac{A-C}{2}$ 的值.

22. 如图,在正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, $E \in BB_{1}$, 截面 $A_{1}EC$ 侧面 $AC_{1}$.(1) 求证:$BE = EB_{1}$; (2) 若 $AA_{1} = A_{1}B_{1}$, 求平面 $A_{1}EC$ 与平面 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 所成二面角(锐角)的度数.

📐 待生成图：正三棱柱ABC-A1B1C1,E为BB1中点

23. 某地现有耕地 $10000$ 公顷,规划 $10$ 年后粮食单产比现在增加 $22\%$,人均粮食占有量比现在提高 $10\%$. 如果人口年增长率为 $1\%$,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到 $1$ 公顷)? (粮食单产 = $\displaystyle \frac{总产量}{耕地面积}$,人均粮食占有量 = $\displaystyle \frac{总产量}{总人口数}$)

24. 已知 $l_{1},l_{2}$ 是过点 $P(-\sqrt{2},0)$ 的两条互相垂直的直线,且 $l_{1},l_{2}$ 与双曲线 $y^{2}-x^{2}=1$ 各有两个交点,分别为 $A_{1},B_{1}$ 和 $A_{2},B_{2}$.

(1) 求 $l_{1}$ 的斜率 $k_{1}$ 的取值范围;

(2) 若 $|A_{1}B_{1}|=\sqrt{5}|A_{2}B_{2}|$,求 $l_{1},l_{2}$ 的方程.

25. 已知 $a,b,c$ 是实数,函数 $f(x)=ax^{2}+bx+c$, $g(x)=ax+b$.当 $-1 \le x \le 1$ 时, $|f(x)| \le 1$.

(1) 证明:$|c| \le 1$;

(2) 证明:当 $-1 \le x \le 1$ 时, $|g(x)| \le 2$;

(3) 设 $a>0$,当 $-1 \le x \le 1$ 时, $g(x)$ 的最大值为 $2$,求 $f(x)$.