1977年河北卷

1. 解答下列各题:

(1) 叙述函数的定义.

(2) 求函数 $y=1-\dfrac{1}{\sqrt{2-3x}}$ 的定义域.

(3) 计算: $\displaystyle [1-(0.5)^{2}]^{\frac{1}{2}}\div \left(27^{\frac{1}{3}}\right)^{4}$.

(4) 计算: $\log_{4}2$.

(5) 分解因式: $x^{2}y - 2y^{3}$.

(6) 计算: $\sin\dfrac{4\pi}{3}\cos\dfrac{25\pi}{6}- \tan\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)$.

2. 证明: 如图, $AB$ 是圆 $O$ 的直径, $CB$ 是圆 $O$ 的切线,切点为 $B$, $OC$ 平行于弦 $AD$,求证: $DC$ 是圆 $O$ 的切线.

3. 证明: $\dfrac{\sin 2\alpha + 1}{1+\cos 2\alpha + \sin 2\alpha}= \dfrac{1}{\tan\alpha + 1}+ \dfrac{1}{2}$.

4. 已知 $2\lg x+\lg 2=\lg(x+6)$,求 $x$.

5. 某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃,其两邻边借用夹角为 $135^{\circ}$ 的两面墙,另外两边是总长为 $30$ 米的篱笆(如图, $AD$ 和 $DC$ 为墙),问篱笆的两边各多长时,苗圃的面积最大?最大面积是多少?

6. 工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器(上面开口),使其容积为 $208$ 立方米,高为 $4$ 分米,上口边长与下底面边长的比为 $5:2$,做这样的容器需要多少平方米的铁皮?(不计容器的厚度和加工余量,不要求写出已知、求解,直接求解并画图即可)

7. 如图, $MN$ 为圆的直径, $P, C$ 为圆上两点,连 $PM, PN$,过 $C$ 作 $MN$ 的垂线与 $MN, MP$ 和 $NP$ 的延长线依次相交于 $A, B, D$,求证: $AC^{2}= AB \cdot AD$.

8. 下列两题选做一题.

【甲】已知椭圆短轴长为 $2$,中心与抛物线 $y^{2}= 4x$ 的顶点重合,椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点,求椭圆方程及其长轴的长.

【乙】已知菱形的一对内角各为 $60^{\circ}$,边长为 $4$,以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,以菱形 $60^{\circ}$ 角的两个顶点为焦点,并且过菱形的另外两个顶点作椭圆,求椭圆方程.

9. 将函数 $f(x) = e^{x}$ 展开为 $x$ 的幂级数,并求出收敛区间.($e=2.718$ 为自然对数的底数)

10. 利用定积分计算椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 所围成的面积.