1989年全国卷文科数学

1. 如果 $I = \{a, b, c, d, e\}$, $M = \{a, c, d\}$, $N = \{b, d, e\}$, 其中 $I$ 是全集, 那么 $M \cap N$ 等于（　　）

2. 与函数 $y = x$ 有相同图象的一个函数是（　　）

3. 如果圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$, 高为 $2$, 那么它的侧面积是（　　）

4. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列, 如果 $a_{1}+a_{2} = 12$, $a_{2}+a_{3} = 6$, 且 $S_{n} = a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}$, 那么 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$ 的值等于（　　）

5. 如果 $(1-2x)^{7} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots+a_{7}x^{7}$, 那么 $a_{1}+a_{2}+\dots+a_{7}$ 的值等于（　　）

6. 如果 $\displaystyle |\cos\frac{\theta}{2}| = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $\displaystyle \frac{\pi}{2}< \theta < 3\pi$, 那么 $\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}$ 的值等于（　　）

7. 直线 $2x+3y-6=0$ 关于点 $(1,-1)$ 对称的直线是（　　）

8. 已知球的两个平行截面的面积分别为 $5\pi$ 和 $8\pi$, 它们位于球心的同一侧, 且相距为 $1$, 那么这个球的半径是（　　）

9. 由数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数, 其中偶数共有（　　）

10. 如果双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{64}- \frac{y^{2}}{36}= 1$ 上一点 $P$ 到它的右焦点的距离是 $8$, 那么点 $P$ 到它的右准线的距离是（　　）

11. 如果 $\displaystyle |x| \le \frac{\pi}{4}$, 那么函数 $f(x) = \cos^{2} x + \sin x$ 最小值是（　　）

12. 已知 $f(x) = 8+2x-x^{2}$, 如果 $g(x) = f(2-x^{2})$, 那么 $g(x)$（　　）

13. 给定三点 $A(1,0), B(-1,0), C(1,2)$, 那么通过点 $A$ 并且与直线 $BC$ 垂直的直线方程是

14. 不等式 $|x^{2}-3x| > 4$ 的解集是.

15. 函数 $\displaystyle y = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$ 的反函数的定义域是.

16. 已知 $A$ 和 $B$ 是两个命题, 如果 $A$ 是 $B$ 的充分条件, 那么 $B$ 是 $A$ 的______条件; $A$ 是 $B$ 的______条件.

17. 已知 $0 < a < 1, 0 < b < 1, a^{\log_b(x-3)}< 1$, 那么 $x$ 的取值范围是.

18. 如图, $P$ 是二面角 $\alpha-AB-\beta$ 棱 $AB$ 上的一点, 分别在 $\alpha, \beta$ 上引射线 $PM, PN$. 如果 $\angle BPM = \angle BPN = 45^{\circ}, \angle MPN = 60^{\circ}$, 那么二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的大小是______.

📐 [图：二面角 $\alpha-AB-\beta$，P在AB上，PM在 $\alpha$，PN在 $\beta$]

19. 设复数 $z = (1-\sqrt{3}i)^{2}$, 求 $z$ 的模和辐角的主值.

20. 证明: $\displaystyle \tan\frac{3x}{2}- \tan\frac{x}{2}= \frac{2\sin x}{\cos x + \cos 2x}$.

21. 如图, 在平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, 已知 $\displaystyle AB = 5, AD = 4, AA_{1} = 3, AB \perp AD, \angle A_{1}AB = \angle A_{1}AD = \frac{\pi}{3}$.

(1) 求证: 顶点 $A_{1}$ 在底面 $ABCD$ 的射影在 $\angle BAD$ 的平分线上;

(2) 求这个平行六面体的体积.

📐 [图：平行六面体ABCD-A1B1C1D1]

22. 用数学归纳法证明: $(1\cdot 2^{2} - 2\cdot 3^{2}) + (3\cdot 4^{2} - 4\cdot 5^{2}) + \dots + [(2n-1)(2n)^{2} - 2n(2n+1)^{2}] = -n(n+1)(4n+3)$.

23. 已知 $a > 0, a \neq 1$, 试求使方程 $\log_{a} (x-ak) = \log_{a^2}(x^{2}-a^{2})$ 有解的 $k$ 的取值范围.

24. 给定椭圆方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$ ($a>b>0$), 求与这个椭圆有公共焦点的双曲线, 使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大, 并求相应的四边形的顶点坐标.