2005年湖南卷文

1. 设全集 $U = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$, $A = \{-2, -1, 0\}$, $B = \{0, 1, 2\}$, 则 $(\complement_{U}A) \cap B =$（　　）

2. $\tan 600^{\circ}$ 的值是（　　）

3. 函数 $f(x)=\sqrt{1-2^{x}}$ 的定义域是（　　）

4. 如图, 正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 $1$, $E$ 是 $A_{1}B_{1}$ 的中点, 则 $E$ 到平面 $ABC_{1}D_{1}$ 的距离为（　　）

5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}= 0$, $a_{n+1}= \dfrac{a_n - \sqrt{3}}{\sqrt{3}a_n + 1}$ ($n \in N^{*}$), 则 $a_{20}=$（　　）

6. 设集合 $A = \left\{ x \middle| \dfrac{x-1}{x+1}< 0 \right\}$, $B = \{x | |x-1| < a\}$, 则“$a = 1$”是“$A\cap B \neq \emptyset$”的（　　）

7. 设直线的方程是 $Ax+By=0$, 从 $1,2,3,4,5$ 这五个数中每次取两个不同的数作为 $A、B$ 的值, 则所得不同直线的条数是（　　）

8. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}- \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ ($a > 0, b > 0$) 的右焦点为 $F$, 右准线与一条渐近线交于点 $A$, $\triangle OAF$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}$ ($O$ 为原点), 则两条渐近线的夹角为（　　）

9. $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面上一点, 若 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}= \overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}= \overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PA}$, 则 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的（　　）

10. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车, 利润 (单位: 万元) 分别为 $L_{1}= 5.06x-0.15x^{2}$ 和 $L_{2}= 2x$, 其中 $x$ 为销售量 (单位: 辆). 若该公司在这两地共销售 $15$ 辆车, 则能获得的最大利润为（　　）

11. 设直线 $2x+3y+1=0$ 和圆 $x^{2}+y^{2}-2x-3=0$ 相交于点 $A、B$, 则弦 $AB$ 的垂直平分线方程是 $\underline{\qquad}$.

12. 一工厂生产了某种产品 $16800$ 件, 它们来自甲、乙、丙 $3$ 条生产线, 为检查这批产品的质量, 决定采用分层抽样的方法进行抽样, 已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列, 则乙生产线生产了 $\underline{\qquad}$ 件产品.

13. 在 $(1+x)+(1+x)^{2}+\cdots+(1+x)^{6}$ 的展开式中, $x^{2}$ 项的系数是 $\underline{\qquad}. ($用数字作答)

14. 设函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称, 且存在反函数 $f^{-1}(x)$, $f(4) = 0$, 则 $f^{-1}(4) =$ $\underline{\qquad}$.

15. 已知平面 $\alpha, \beta$ 和直线 $m$, 给出条件:

① $m \parallel \alpha$; ② $m \perp \alpha$; ③ $m \subset \alpha$; ④ $\alpha \perp \beta$; ⑤ $\alpha \parallel \beta$.

(1) 当满足条件 $\underline{\qquad}$, 时, 有 $m \parallel \beta$;

(2) 当满足条件 $\underline{\qquad}$ 时, 有 $m \perp \beta$. (填所选条件的序号)

16. 已知数列 $\{\log_{2}(a_{n}-1)\}$ ($n\in N^{*}$) 为等差数列, 且 $a_{1}= 3, a_{3}= 9$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式;

(2) 证明: $\dfrac{1}{a_2-a_1}+ \dfrac{1}{a_3-a_2}+ \cdots + \dfrac{1}{a_{n+1}-a_n}< 1$.

17. 已知在 $\triangle ABC$ 中, $\sin A(\sin B + \cos B) - \sin C = 0$, $\sin B + \cos 2C = 0$, 求角 $A、B、C$ 的大小.

18. 如图1, 已知 $ABCD$ 是上、下底边长分别为 $2$ 和 $6$, 高为 $\sqrt{3}$ 的等腰梯形, 将它沿对称轴 $OO_{1}$ 折成直二面角, 如图2.

(1) 证明: $A_{1}C_{1}\perp BO_{1}$;

(2) 求二面角 $D-AC-O_{1}$ 的大小.

19. 设 $t \neq 0$, 点 $P(t,0)$ 是函数 $f(x) = x^{2}+ ax$ 与 $g(x) = bx^{2}+ c$ 的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 $P$ 处有相同的切线.

(1) 用 $t$ 表示 $a, b, c$;

(2) 若函数 $y=f(x) - g(x)$ 在 $(-1,3)$ 上单调递减, 求 $t$ 的取值范围.

20. 某单位组织 $4$ 个部门的职工旅游, 规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 $3$ 个景区中任选一个, 假设各部门选择每个景区是等可能的.

(1) 求 $3$ 个景区都有部门选择的概率;

(2) 求恰有 $2$ 个景区有部门选择的概率.

21. 已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ ($a > b > 0$) 的左、右焦点为 $F_{1}、F_{2}$, 离心率为 $e$. 直线 $l: y = ex+a$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点 $A、B$, $M$ 是直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的一个公共点, $P$ 是点 $F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点, 设 $\overrightarrow{AM}= \lambda\overrightarrow{AB}$.

(1) 证明: $\lambda = 1 - e^{2}$;

(2) 若 $\lambda = \dfrac{1}{2}$, $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的周长为 $6$; 写出椭圆 $C$ 的方程;

(3) 确定 $\lambda$ 的值, 使得 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 是等腰三角形.