1997年全国卷文科

1. 设集合 $M = \{x|0 < x <2\}$, 集合 $N = \{x | x^{2}-2x-3 <0\}$, 集合 $M \cap N =$（　　）

2. 如果直线 $ax+2y+2=0$ 与直线 $3x-y-2=0$ 平行,那么系数 $a=$（　　）

3. 函数 $\displaystyle y=\tan \left( \frac{\pi}{3}x - \frac{\pi}{6}\right)$ 在一个周期内的图象是（　　）

4. 已知三棱锥 $D$-$ABC$ 的三个侧面与底面全等, 且 $AB = AC = \sqrt{3}$, $BC = 2$, 则以 $BC$ 为棱, 以面 $BCD$ 与面 $BCA$ 为面的二面角的大小是（　　）

5. 函数 $\displaystyle y = \sin \left( \frac{\pi}{2}- 2x \right) + \sin 2x$ 的最小正周期是（　　）

6. 满足 $\tan \alpha \ge \cot \alpha$ 的 $\alpha$ 的一个取值区间是（　　）

7. 设函数 $y = f(x)$ 定义在实数集上, 则函数 $y = f(x-1)$ 与 $y = f(1-x)$ 的图象关于.（　　）

8. 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 $3,4,5$, 且它的八个顶点都在同一个球面上, 这个球的表面积是（　　）

9. 如果直线 $l$ 将圆 $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0$ 平分, 且不通过第四象限, 那么 $l$ 的斜率的取值范围是（　　）

10. 函数 $y = \cos^{2}x-3 \cos x+2$ 的最小值为（　　）

11. 椭圆 $C$ 与椭圆 $\displaystyle \frac{(x-3)^{2}}{9}+ \frac{(y-2)^{2}}{4}= 1$ 关于直线 $x+y=0$ 对称, 椭圆 $C$ 的方程是（　　）

12. 圆台上、下底面积分别为 $\pi$、$4\pi$, 侧面积为 $6\pi$, 这个圆台的体积是（　　）

13. 定义在区间 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数 $f(x)$ 为增函数, 偶函数 $g(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 的图象与 $f(x)$ 的图象重合, 设 $a > b > 0$, 给出下列不等式:

$\text{① }f(b) - f(-a) > g（　　）

14. 不等式组 $\displaystyle \begin{cases}x > 0, \\ \frac{3-x}{3+x} > \frac{1}{2}\end{cases}$ 的解集是（　　）

15. 四面体的一个顶点为 $A$, 从其他顶点与棱的中点中取 $3$ 个点, 使它们和点 $A$ 在同一平面上, 不同的取法共有（　　）

16. 已知 $(a-2) \sqrt[18]{x}$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为 , 常数 $a$ 的值为

17. 已知直线 $x-y=2$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 交于 $A, B$ 两点, 那么线段 $AB$ 的中点坐标是 $$

18. $\displaystyle \frac{\sin 7^{\circ}+ \cos 15^{\circ}\sin 8^{\circ}}{\cos 7^{\circ}- \sin 15^{\circ}\sin 8^{\circ}}$ 的值为 $$

19. 已知 $m, l$ 是直线, $\alpha, \beta$ 是平面, 给出下列命题:

$\text{① }$ 若 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的两条相交直线, 则 $l \perp \alpha$;

$\text{② }$ 若 $l$ 平行于 $\alpha$, 则 $l$ 平行于 $\alpha$ 内的所有直线;

$\text{③ }$ 若 $m \subset \alpha, l \subset \beta$, 且 $l \perp m$, 则 $\alpha \perp \beta$;

$\text{④ }$ 若 $l \subset \beta$, 且 $l \perp \alpha$, 则 $\alpha \perp \beta$;

$\text{⑤ }$ 若 $m \subset \alpha, l \subset \beta$, 且 $\alpha \parallel \beta$, 则 $m \parallel l$.

其中正确的命题的序号是 $$. (注: 把你认为正确的命题的序号都填上)

20. 已知复数 $\displaystyle z = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $\displaystyle w = \frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{2}}{2}i$. 求复数 $zw+zw^{3}$ 的模及辐角主值.

21. 设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项的和.已知 $\displaystyle \frac{S_{3}}{S_{4}}$ 与 $\displaystyle \frac{S_{4}}{S_{3}}$ 的等比中项为 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\displaystyle \frac{S_{3}}{3}$ 与 $\displaystyle \frac{S_{4}}{3}$ 的等差中项为 $1$.求等差数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n}$.

22. 甲、乙两地相距 $S$ 千米, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 $v_{0}$ 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 $v$ (千米/时) 的平方成正比, 比例系数为 $b$; 固定部分为 $a$ 元.

(1) 把全程运输成本 $y$ (元) 表示为速度 $v$ (千米/时) 的函数, 并指出这个函数的定义域;

(2) 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?

23. 如图, 在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E,F$ 分别是 $BB_{1}, CD$ 的中点.

(1) 证明: $AD \perp D_{1}F$;

(2) 求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角;

(3) 证明: 面 $AED \perp$ 面 $A_{1}FD_{1}$;

(4) 设 $AA_{1} = 2$, 求三棱锥 $F-A_{1}ED_{1}$ 的体积.

24. 已知过原点的一条直线与函数 $y=\log_{4} x$ 的图象交于 $A、B$ 两点, 分别过点 $A、B$ 作 $y$ 轴的平行线与函数的 $y = \log_{2} x$ 的图象交于 $C、D$ 两点.

(1) 证明: 点 $C、D$ 和原点在同一条直线上;

(2) 当 $BC$ 平行于 $x$ 轴时, 求点 $A$ 的坐标.

25. 设圆满足: $\text{①}$ 截 $y$ 轴所得弦长为 $2$; $\text{②}$ 被 $x$ 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 $3:1$; $\text{③}$ 圆心到直线 $l: x - 2y = 0$ 的距离为 $\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}$. 求该的圆的方程.