1977年北京卷理

1. 解方程: $\sqrt{x-1}= 3-x$.

2. 计算: $2^{-1}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$.

3. 已知 $\lg 2 = 0.3010$, $\lg 3 = 0.4771$, 求 $\lg \sqrt{45}$.

4. 证明: $(1+\tan \alpha)^{2}= \dfrac{1 + \sin 2\alpha}{\cos^2 \alpha}$.

5. 求过两直线 $x+y-7=0$ 和 $3x-y-1=0$ 的交点且过 $(1,1)$ 点的直线方程.

6. 某工厂今年七月份的产值为 $100$ 万元,以后每月产值比上月增加 $20\%$,问今年七月份到十月份总产值是多少?

7. 已知二次函数 $y=x^{2}-6x+5$.

(1) 求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;

(2) 画出它的图象;

(3) 分别求出它的图象和 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标.

8. 一只船以 $20$ 海里/小时的速度向正东航行,起初船在 $A$ 处看见一灯塔 $B$ 在船的北 $45^{\circ}$ 东方向,一小时后船在 $C$ 处看见这个灯塔在船的北 $15^{\circ}$ 东方向,求这时船和灯塔的距离 $CB$.

9. 一个圆内接三角形 $ABC$, $\angle A$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$,交外接圆于 $E$,求证: $AD\cdot AE = AC\cdot AB$.

10. 当 $m$ 取哪些值时,直线 $y=x+m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 有一个交点?有

两个交点?没有交点?当它们有一个交点时,画出它的图象.

11. (1) 求函数 $f(x) = \begin{cases}x^{2}\sin \dfrac{\pi}{x},&(x \neq 0) \\ 0,&(x = 0)\end{cases}$ 的导数.

(2) 求椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积.

12. (1) 试用 $\varepsilon-\delta$ 语言叙述“函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处连续”的定义.

(2) 试证明:若 $f(x)$ 在点 $x=x_{0}$ 处连续,且 $f(x_{0}) > 0$,则存在一个 $x_{0}$ 的 $(x_{0}- \delta, x_{0}+ \delta)$, 在这个邻域内,处处有 $f(x) > 0$.