2026年全国一卷数学

1. 样本数据 $6,8,4,5,12$ 的中位数为（　　）

2. 已知平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 不共线, 且 $2\boldsymbol{a}+ y\boldsymbol{b}= x\boldsymbol{a}- 3\boldsymbol{b}$, 则（　　）

3. 已知集合 $\displaystyle A = \left\{\sin \frac{\pi}{6}, \cos \frac{\pi}{3}, \tan \frac{5\pi}{4}\right\}$, $\displaystyle B = \left\{-\frac{\sqrt{3}}{3}, -1, 1\right\}$, 则 $A \cap B =$（　　）

4. 曲线 $y = 5x +8\ln x$ 在点 $(1,5)$ 处的切线方程为（　　）

5. 已知抛物线 $C_{1}: y^{2}= 2p_{1}x (p_{1}> 0)$ 和 $C_{2}: x^{2}= 2p_{2}y (p_{2}> 0)$ 均经过点 $(4,8)$, 则 $C_{1}$ 的焦点与 $C_{2}$ 的焦点之间的距离为（　　）

6. 已知函数 $f(x) = \dfrac{2}{e^x+a}$ 的最大值为 $1$, 则 $a =$（　　）

7. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市, 以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群共有 $108$ 座塔, 依山势自上而下排成 $12$ 行, 将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_{i}(i = 1,2,\dots,12)$, 其中 $a_{1}= 1, a_{2}= a_{3}= 3, a_{4}= a_{5}= 5$, 且 $a_{6}, a_{7},\dots, a_{12}$ 是一个首项为 $7$, 公差为 $2$ 的等差数列。将 $a_{1}, a_{2},\dots,a_{12}$ 分为 $6$ 组, 每组 $2$ 个数。使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列。则 $d=$（　　）

8. 设 $U = \{(X_{1},X_{2}, X_{3}) | X_{i}\in \{-2, -1, 1, 2\}, i = 1,2,3\}$ 为空间中 $64$ 个点构成的集合。点 $P(1,1,1)$, 记样本空间 $\Omega = \complement_{U}\{P\}$。从中随机取一个点, 定义随机变量 $X$ 如下: 对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_{1}, x_{2}, x_{3})$, 令 $X(A) = x_{1}+ x_{2}+ x_{3}$。则 $X$ 的数学期望为（　　）

9. 设 $z = 3+ 2i$, 则（　　）

10. 在空间中, $A,B$ 为两个定点, 动点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离为 $2$, 动点 $D$ 到直线 $AB$ 的距离为 $1$。 若二面角 $C- AB - D$ 为 $60^{\circ}$, 则（　　）

11. 已知圆 $C_{1}: (x + 1)^{2}+ y^{2}= 1$, 圆 $C_{2}: (x - 1)^{2}+ y^{2}= 1$, 圆 $C_{3}: x^{2}+ (y - \sqrt{3})^{2}= 1$, 直线 $l : y = kx + b$ 与 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 均有两个交点。记 $l$ 被 $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 截得的弦长分别为 $s_{1},s_{2},s_{3}$, 则（　　）

12. 双曲线 $5x^{2}- 6y^{2}= 1$ 的离心率为 $\underline{\qquad}$.

13. 已知 $f(x) = 2\sin(ax + \theta) (a \in \mathbf{Z}, 0 \leq \theta < 2\pi)$ 是偶函数, $f(x)$ 在区间 $\displaystyle (0, \frac{\pi}{a})$ 单调递增. 则 $\theta =$ $\underline{\qquad}$, $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) =$ $\underline{\qquad}$.

14. 设实数 $q$ 满足: 存在数列 $\{a_{n}\}$, 使得对于任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$, 均有 $a_{1}+ a_{2}+ \dots + a_{3n}= n^{2}+ n$, 且 $\{a_{n}\}$ 中有某连续 $9$ 项 $a_{k}, a_{k+1},\dots,a_{k+8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列. 则 $q$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$.

15. (13分)

如图, 在直三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $AC = BC$, $D, E$ 分别为 $AB, AC_{1}$ 的中点.

(1) 证明: $DE \parallel$ 平面 $BCC_{1}B_{1}$;

(2) 设 $CC_{1}= 2$, 直线 $DE$ 与平面 $ACC_{1}A_{1}$ 所成的角为 $45^{\circ}$, 求直线 $DE$ 到平面 $BCC_{1}B_{1}$ 的距离.

16. (15分)

已知在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 3, BC = 2\sqrt{3}, \cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

(1) 求 $\cos A$;

(2) 设 $D, E$ 两点满足: $D$ 在 $BA$ 的延长线上, $DE \parallel BC, AE \perp AC$. 若 $DE = \sqrt{6}$, 求 $AD$ 的长.

17. (15分)

设整数 $N \geq 2$. 某同学用一个球进行投篮练习, 至多投篮 $N$ 次, 当且仅当投中 $1$ 次时或 $N$ 次均未投中时, 停止练习. 设该同学每次投中的概率为 $p (0 < p < 1)$, 各次投中与否相互独立. 记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数.

(1) 当 $N = 4, p = \dfrac{1}{3}$ 时, 求 $X$ 的分布列;

(2) 设 $k, m$ 均为自然数.

(i) 当 $k \leq N - 1$ 时, 求 $P(X > k)$;

(ii) 当 $k + m \leq N-1$ 时, 证明: $P(X > k + m | X > k) = P(X > m)$.

18. (17分)

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F(-1,0)$, 离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程;

(2) 设 $O$ 为坐标原点, 过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P,Q$ 两点, 其中 $Q$ 在第三象限, 直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍, 求 $l$ 的方程;

(ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值.

19. (17分)

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 且当 $x < 0$ 时, $f(x) = 2^{x}$. 对任意 $x_{0}\in \mathbf{R}$, 定义集合 $D(x_{0}) = \{d \in \mathbf{R}| f(x_{0}+ d) > f(x_{0})\}$.

(1) 若当 $x \geq 0$ 时, $f(x) = 1-x$, 求 $D(-1)$;

(2) 若 $f(x)$ 是奇函数, $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$, 且 $x_{1}x_{2}\neq 0$, 证明: $D(x_{2}) \subseteq D(x_{1})$;

(3) 设 $f(x)$ 满足: 若 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$, 则 $D(x_{2}) \subseteq D(x_{1})$; 当 $0 < x < 1$ 时, $f(x) < f(0)$.

(i) 证明: $f(0) \geq 1$;

(ii) 证明: $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 单调递增.