2004年湖北卷文

1. 设 $A = \{x | x = \sqrt{5k+1}, k \in \mathbf{N}\}, B = \{x | x \leq 6, x \in \mathbf{Q}\}$, 则 $A\cap B$ 等于（　　）

2. 已知点 $M_{1}(6,2)$ 和 $M_{2}(1,7)$.直线 $y=mx-7$ 与线段 $M_{1}M_{2}$ 的交点 $M$ 分有向线段 $M_{1}M_{2}$ 的比为 $3:2$,则 $m$ 的值为（　　）

3. 已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $3$, 则 $f(x)$ 的解析式可能为（　　）

4. 两个圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}+2x+2y-2=0$ 与 $C_{2}: x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0$ 的公切线有且仅有（　　）

5. 若函数 $f(x)=a^{x}+b-1$ ($a>0, a\neq1$) 的图象经过第二、三、四象限, 则一定有（　　）

6. 四面体 $ABCD$ 四个面的重心分别为 $E、F、G、H$, 则四面体 $EFGH$ 的表面积与四面体 $ABCD$ 的表面积的比值是（　　）

7. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为非零的平面向量.甲: $\vec{a}\cdot\vec{b}= \vec{a}\cdot\vec{c}$，乙: $\vec{b}= \vec{c}$, 则（　　）

8. 已知 $x\geq 2$, 则 $f(x)=\dfrac{5}{x^2-4x+5}$ 有（　　）

9. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}= a\cdot 2^{n-1}- \dfrac{n-1}{2}- b\cdot 2^{-(n+1)}(n=1,2,\cdots)$，其中 $a、b$ 是非零常数,则存在数列 $\{x_{n}\}、\{y_{n}\}$ 使得（　　）

10. 若 $1<a<\dfrac{1}{b}<1$, 则下列结论中不正确的是（　　）

11. 将标号为 $1,2,\dots,10$ 的 $10$ 个球放入标号为 $1,2,\dots,10$ 的 $10$ 个盒子里,每个盒内放一个球,恰好 $3$ 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（　　）

12. 设 $y=f(t)$ 是某港口水的深度 $y$ (米) 关于时间 $t$ (时) 的函数,其中 $0\leq t\leq 24$. 下表是该港口某一天从 $0$ 时至 $24$ 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系:

经长期观察,函数 $y=f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y=k+A\sin(\omega t+\varphi)$ 的图象. 下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（　　）

13. $\tan 2010^{\circ}$ 的值为 $\underline{\qquad}$.

14. 已知 $(x^{2}+x^{-1})^{n}$ 的展开式中各项系数的和是 $128$, 则展开式中 $x^{-2}$ 的系数是 $\underline{\qquad}. ($以数字作答)

15. 某校有老师 $200$ 人,男学生 $1200$ 人,女学生 $1000$ 人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 $n$ 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 $80$ 人,则 $n=$ $\underline{\qquad}$.

16. 设 $A、B$ 为两个集合.下列四个命题:

① $A \subseteq B \Leftrightarrow \text{对任意 }x \in A, \text{有 }x \notin B$;

② $A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset$;

③ $A \subseteq B \Leftrightarrow B \subseteq A$;

④ $A \subseteq B \Leftrightarrow \text{存在 }x \in A, \text{使得 }x \notin B$.

其中真命题的序号是 $\underline{\qquad}. ($把符合要求的命题序号都填上)

17. 已知 $6\sin^{2}\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^{2}\alpha = 0, \alpha\in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, 求 $\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的值.

18. 如图,在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,$AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$, $C_{1}B$ 与 $CB_{1}$ 交于点 $F$.

(1) 求证: $A_{1}C \perp$ 平面 $BDC_{1}$;

(2) 求二面角 $B-EF-C$ 的大小.(结果用反三角函数值表示)

19. 如图,在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中,已知 $BC=a$, 若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点,问 $PQ$ 与 $BC$ 的夹角 $\theta$ 取何值时 $BP\cdot CQ$ 的值最大?并求出这个最大值.

20. 直线 $l: y=kx+1$ 与双曲线 $C: 2x^{2}-y^{2}=1$ 的右支交于不同的两点 $A、B$.

(1) 求实数 $k$ 的取值范围;

(2) 是否存在实数 $k$, 使得以线段 $AB$ 为直径的圆经过双曲线 $C$ 的右焦点 $F$?若存在,求出 $k$ 的值,若不存在,说明理由.