2000年上海卷文

1. 已知向量 $\overrightarrow{OA}= (-1,2)$、$\overrightarrow{OB}= (3, m)$, 若 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$, 则 $m = \_$

2. 函数 $\displaystyle y = \log_{2} \frac{2x-1}{3-x}$ 的定义域为 $\_$

3. 圆锥曲线 $\displaystyle \frac{(x-1)^{2}}{16}- \frac{y^{2}}{9}= 1$ 的焦点坐标是 $\_$

4. 计算: $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}= \_$

5. 已知 $f(x) = 2^{x} + b$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$, 若 $y = f^{-1}(x)$ 的图象经过点 $Q(5,2)$, 则 $b = \_$.

6. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告, 1999 年上海市完成 GDP (GDP 是指国内生产总值) 4035 亿元, 2000 年上海市 GDP 预期增长 9%, 市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在 0.08%, 若 GDP 与人口均按这样的速度增长, 则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍, 至少需 $\_{\text{年}}$.

按: 1999 年本市常住人口总数约 1300 万.

7. 命题 A: 底面为正三角形, 且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥, 命题 A 的等价题 B 可以是: 底面为正三角形, 且 $\_{\_}$ 的三棱锥是正三棱锥.

8. 设函数 $y = f(x)$ 是最小正周期为 $2$ 的偶函数, 它在区间 $[0,1]$ 上的图象为如图所示的线段 AB, 则在区间 $[1,2]$ 上 $f(x) = \_$.

9. 在二项式 $(x-1)^{11}$ 的展开式中, 系数最小的项的系数为 $\_$. (结果用数值表示)

10. 有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 $3$ 面, 在每种颜色的 $3$ 面旗帜上分别标上号码 $1、2$ 和 $3$, 现任取出 $3$ 面, 它们的颜色与号码均不相同的概率是 $\_$

11. 图中阴影部分的点满足不等式组 $\begin{cases}x+y \le 5, \\ 2x+y \le 6, \\ x \ge 0, y \ge 0,\end{cases}$ 在这些点中, 使目标函数 $k = 6x+8y$ 取得最大值的点的坐标是 $\_$

12. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中, 若 $a_{10}= 0$, 则有等式 $a_{1}+a_{2}+ ... + a_{n} = a_{1}+a_{2}+ ... + a_{19-n}$ ($n < 19, n \in N^{*}$) 成立, 类比上述性质, 相应地: 在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中, 若 $b_{9} = 1$, 则有等式 $\_$ 成立.

13. 函数 $\displaystyle y = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ ($\displaystyle x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$) 是（　　）

14. 设有不同的直线 $a、b$ 和不同的平面 $\alpha、\beta、\gamma$, 给出下列三个命题:

①若 $a \parallel \alpha, b \parallel \alpha$, 则 $a \parallel b$;

②若 $a \parallel \alpha, \alpha \parallel \beta$, 则 $a \parallel \beta$;

③若 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 则 $\alpha \parallel \beta$. 其中正确的个数是（　　）

15. 若集合 $S = \{y | y = 3^{x}, x \in R\}$, $T = \{y | y = x^{2} - 1, x \in R\}$, 则 $S \cap T$ 是（　　）

16. 下列命题中正确的命题是（　　）

17. 已知椭圆 C 的焦点分别为 $F_{1}(-2\sqrt{2},0)$ 和 $F_{2}(2\sqrt{2},0)$, 长轴长为 $6$, 设直线 $y=x+2$ 交椭圆 C 于 A、B 两点, 求线段 AB 的中点坐标.

18. 如图所示四面体 ABCD 中, AB、BC、BD 两两互相垂直, 且 $AB = BC = 2$, E 是 AC 中点, 异面直线 AD 与 BE 所成的角的大小为 $\displaystyle \arccos \frac{\sqrt{10}}{10}$, 求四面体 ABCD 的体积.

19. 已知函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x^{2} + 2x + a}{x}$, $x \in [1, +\infty)$.

(1) 当 $\displaystyle a = -\frac{1}{2}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最小值;

(2) 若对任意 $x \in [1, +\infty)$, $f(x) > 0$ 恒成立, 试求实数 $a$ 的取值范围.