2005年江苏卷

1. 设集合 $A = \{1, 2\}$, $B = \{1, 2, 3\}$, $C = \{2, 3, 4\}$, 则 $(A\cap B) \cup C =$（　　）

2. 函数 $y = 2^{1-x}+3$ ($x\in R$) 的反函数的解析表达式为（　　）

3. 在各项都为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中, 首项 $a_{1}= 3$, 前三项和为 $21$, 则 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=$（　　）

4. 在正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, 若 $AB = 2$, $AA_{1}= 1$, 则点 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离为（　　）

5. $\triangle ABC$ 中, $A = \dfrac{\pi}{3}$, $BC = 3$, 则 $\triangle ABC$ 的周长为（　　）

6. 抛物线 $y = 4x^{2}$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为 $1$, 则点 $M$ 的纵坐标是（　　）

7. 在一次歌手大奖赛上, 七位评委为歌手打出的分数如下: $9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7$. 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均值和方差分别为（　　）

8. 设 $\alpha, \beta, \gamma$ 为两两不重合的平面, $l, m, n$ 为两两不重合的直线, 给出下列四个命题:

①若 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 则 $\alpha \parallel \beta$;

②若 $m \subset \alpha, n \subset \alpha, m \parallel \beta, n \parallel \beta$, 则 $\alpha \parallel \beta$;

③若 $\alpha \parallel \beta, l \subset \alpha$, 则 $l \parallel \beta$;

④若 $\alpha \cap \beta = l, \beta \cap \gamma = m, \gamma \cap \alpha = n, l \parallel \gamma$, 则 $m \parallel n$.

其中真命题的个数是（　　）

9. 设 $k = 1, 2, 3, 4, 5$, 则 $(x+2)^{k}$ 的展开式中 $x^{k}$ 的系数不可能是（　　）

10. 若 $\sin (\dfrac{\pi}{6}- \alpha) = \dfrac{1}{3}$, 则 $\cos (\dfrac{\pi}{3}+ 2\alpha) =$（　　）

11. 点 $P(-3,1)$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}= 1$ ($a > b > 0$) 的左准线上. 过点 $P$ 且方向为 $\vec{a}= (2,-5)$ 的光线, 经直线 $y=-2$ 反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆的离心率为（　　）

12. 四棱锥的 $8$ 条棱代表 $8$ 种不同的化工产品, 有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的, 现打算用编号为①、②、③、④的 $4$ 个仓库存放这 $8$ 种化工产品, 那么安全存放的不同方法种数为（　　）

13. 命题“若 $a>b$, 则 $2^{a}> 2^{b-1}$”的否命题为 $\underline{\qquad}$.

14. 曲线 $y = x^{2}+x+1$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程是 $\underline{\qquad}$.

15. 函数 $y = \sqrt{\log_{0.5}(4x^{2}- 3x)}$ 的定义域为 $\underline{\qquad}$.

16. 若 $3^{k}= 0.618$, $a \in [k, k + 1)$, $k \in Z$, 则 $k =$ $\underline{\qquad}$.

17. 已知 $a, b$ 为常数, 若 $f(x) = x^{2}+ 4x + 3$, $f(ax + b) = x^{2}+10x+24$, 则 $5a-b =$ $\underline{\qquad}$.

18. 在 $\triangle ABC$ 中, $O$ 为中线 $AM$ 上的一个动点, 若 $AM = 2$, 则 $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC})$ 的最小值是 $\underline{\qquad}$.

19. 如图, 圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 的半径都是 $1$, $O_{1}O_{2}=4$, 过动点 $P$ 分别作圆 $O_{1}$、圆 $O_{2}$ 的切线 $PM、PN$ ($M、N$ 分别为切点), 使得 $PM = \sqrt{2}PN$. 试建立适当的坐标系, 并求动点 $P$ 的轨迹方程.

20. 甲、乙两人各射击一次, 击中目标的概率分别是 $\dfrac{2}{3}$ 和 $\dfrac{3}{4}$. 假设两人射击是否击中目标, 相互之间没有影响; 每次射击是否击中目标, 相互之间没有影响.

(1) 求甲射击 $4$ 次, 至少 $1$ 次未击中目标的概率;

(2) 求两人各射击 $4$ 次, 甲恰好击中目标 $2$ 次且乙恰好击中目标 $3$ 次的概率;

(3) 假设某人连续 $2$ 次未击中目标, 则停止射击. 问: 乙恰好射击 $5$ 次后, 被中止射击的概率是多少?

21. 如图, 在五棱锥 $S-ABCDE$ 中, $SA \perp$ 底面 $ABCDE$, $SA = AB = AE = 2$, $BC = DE = \sqrt{3}$, $\angle BAE = \angle BCD = \angle CDE = 120^{\circ}$.

(1) 求异面直线 $CD$ 与 $SB$ 所成的角; (用反三角函数值表示)

(2) 证明: $BC \perp$ 平面 $SAB$;

(3) 用反三角函数值表示二面角 $B-SC-D$ 的大小. (本小问不必写出解答过程)

22. 已知 $a \in R$, 函数 $f(x) = x^{2}|x - a|$.

(1) 当 $a = 2$ 时, 求 $f(x) = x$ 使成立的 $x$ 的集合;

(2) 求函数 $y = f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上的最小值.

23. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前项和为 $S_{n}$, 已知 $a_{1}= 1, a_{2}= 6, a_{3}= 11$, 且 $(5n - 8)S_{n+1}- (5n + 2)S_{n}= An + B, n = 1, 2, 3, \cdots$, 其中 $A, B$ 为常数.

(1) 求 $A$ 与 $B$ 的值;

(2) 证明数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列;

(3) 证明不等式 $\sqrt{5a_{m}a_{n}}- \sqrt{a_{m}a_{n}}> 1$ 对任何正整数 $m、n$ 都成立.