2024年北京卷数学

1. 已知集合 $M = \{x | -4<x<1\}$, $N = \{x|-1<x<3\}$, 则 $M \cup N = ($ $\underline{\qquad}$ $)$（　　）

2. 已知 $\dfrac{z}{i}=i-1$, 则 $z= ($ $\underline{\qquad}$ $)$.（　　）

3. 求圆 $x^{2}+ y^{2}-2x+6y = 0$ 的圆心到 $x-y+2=0$ 的距离 ( $\underline{\qquad} )$（　　）

4. $(x-\sqrt{x})^{4}$ 的二项展开式中 $x$ 的系数为 ( $\underline{\qquad} )$（　　）

5. 已知向量 $\vec{a},\vec{b}$, 则“$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$”是“$\vec{a}=\vec{b}$或$\vec{a}=-\vec{b}$”的 ( $\underline{\qquad} )$ 条件.（　　）

6. 已知 $f(x) = \sin \omega x (\omega>0)$, $f(x_{1})=-1$, $f(x_{2})=1$, $|x_{1}- x_{2}|_{\min}=\dfrac{\pi}{2}$, 则 $\omega= ($ $\underline{\qquad}$ $)$（　　）

7. 记水的质量为 $d=\dfrac{S-1}{\ln n}$, 并且 $d$ 越大, 水质量越好. 若 $S$ 不变, 且 $d_{1}= 2.1$, $d_{2}= 2.2$, 则 $n_{1}$ 与 $n_{2}$ 的关系为 ( $\underline{\qquad} )$（　　）

8. 已知以边长为 $4$ 的正方形为底面的四棱锥, 四条侧棱分别为 $4,4,2\sqrt{2},2\sqrt{2}$, 则该四棱锥的高为 ( $\underline{\qquad} )$（　　）

9. 已知 $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = 2^{x}$ 图象上不同的两点, 则下列正确的是( $\underline{\qquad} )$（　　）

10. 若集合 $\{(x,y)| y = x + t(x^{2}– x),0 \leq t \leq1,1\leq x\leq2\}$ 表示的图形中, 两点间最大距离为 $d$、面积为 $S$, 则( $\underline{\qquad} )$（　　）

11. 已知抛物线 $y^{2}=16x$, 则焦点坐标为 $\underline{\qquad}$ .

12. 已知 $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]$, 且 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于原点对称, 则 $\cos\beta$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$ .

13. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-y^{2}= 1$, 则过 $(3,0)$ 且和双曲线只有一个交点的直线的斜 $\underline{\qquad}$ .

14. 已知三个圆柱的体积为公比为 $10$ 的等比数列. 第一个圆柱的直径为 $65$mm, 第二、三个圆柱的直径为 $325$mm, 第三个圆柱的高为 $230$mm, 求前两个圆柱的高度分别为 $\underline{\qquad}$ .

15. 已知 $M = \{k|a_{k}=b_{k}\}$, $a_{n},b_{n}$ 不为常数列且各项均不相同, 下列正确的是$\underline{\qquad}$.

① $a_{n},b_{n}$ 均为等差数列, 则 $M$ 中最多一个元素;

② $a_{n},b_{n}$ 均为等比数列, 则 $M$ 中最多三个元素;

③ $a_{n}$ 为等差数列, $b_{n}$ 为等比数列, 则 $M$ 中最多三个元素;

④ $a_{n}$ 单调递增, $b_{n}$ 单调递减, 则 $M$ 中最多一个元素.

16. 在 $\triangle ABC$ 中, $a=7,A$ 为钝角, $\sin 2B = -\dfrac{\sqrt{3}}{7}b\cos B$.

(1) 求 $\angle A$;

(2) 从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知, 求 $\triangle ABC$ 的面积.

① $b=7$; ② $\cos B = \dfrac{13}{14}$; ③ $c\sin A = \dfrac{2\sqrt{3}}{5}$.

注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答, 按第一个解答计分.

17. 已知四棱锥 $P-ABCD$, $AD\parallel BC$, $AB = BC = 1$, $AD = 3$, $DE = PE =2$, $E$ 是 $AD$ 上一点, $PE \perp AD$.

(1) 若 $F$ 是 $PE$ 中点, 证明: $BF\parallel$ 平面 $PCD$ .

(2) 若 $AB\perp$ 平面 $PED$, 求平面 $PAB$ 与平面 $PCD$ 夹角的余弦值.

18. 已知某险种的保费为 $0.4$ 万元, 前 $3$ 次出险每次赔付 $0.8$ 万元, 第 $4$ 次赔付 $0.6$ 万元

在总体中抽样 $100$ 单, 以频率估计概率:

(1) 求随机抽取一单, 赔偿不少于 $2$ 次的概率;

(2) (i) 毛利润是保费与赔偿金额之差. 设毛利润为 $X$, 估计 $X$ 的数学期望;

(ii) 若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $4\%$, 已赔偿过的增加 $20\%$. 估计保单下一保险期毛利润的数学期望.

19. 已知椭圆方程 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$, 焦点和短轴端点构成边长为 $2$ 的正方形, 过 $(0,t)$ $(t>\sqrt{2})$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A, B$, $C(0,1)$, 连接 $AC$ 交椭圆于 $D$.

(1) 求椭圆方程和离心率;

(2) 若直线 $BD$ 的斜率为 $0$, 求 $t$.

20. 已知 $f(x)=x+k\ln(1+x)$ 在 $(t, f(t))$ $(t > 0)$ 处切线为 $l$.

(1) 若切线 $l$ 的斜率 $k=-1$, 求 $f(x)$ 单调区间;

(2) 证明: 切线 $l$ 不经过 $(0,0)$;

(3) 已知 $k=1$, $A(t,f(t))$, $C(0, f(t))$, $O(0,0)$, 其中 $t>0$, 切线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $B$ 时. 当 $2S_{AOC_0}=15S_{ABO}$, 符合条件的 $A$ 的个数为?

(参考数据: $1.09 <\ln3 <1.10$, $1.60 <\ln5 <1.61$, $1.94 <\ln7 < 1.95$)