1991年全国卷文科数学

1. 已知 $\displaystyle \sin\alpha = \frac{4}{5}$, 并且 $\alpha$ 是第二象限的角, 那么 $\tan\alpha$ 的值等于（　　）

2. 焦点在 $(-1,0)$, 顶点在 $(1,0)$ 的抛物线方程是（　　）

3. 点 $P(2,5)$ 关于直线 $x+y=0$ 的对称点的坐标是（　　）

4. 函数 $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ 的最小正周期是（　　）

5. 如果把两条异面直线看成“一对”, 那么六棱锥的棱所在的 $12$ 条直线中, 异面直线共有（　　）

6. 函数 $\displaystyle y = \sin (2x+\frac{5\pi}{4})$ 的图象的一条对称轴的方程是（　　）

7. 如果三棱锥 $S-ABC$ 的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点 $S$ 在底面的射影 $O$ 在 $\triangle ABC$ 内, 那么 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的（　　）

8. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列, 且 $a_{n} > 0$, $a_{2}a_{4} + 2a_{3}a_{5} + a_{4}a_{6} = 25$, 那么 $a_{3}+a_{5}$ 的值等于（　　）

9. 已知函数 $\displaystyle y = \frac{6x+5}{x-1}$ ($x \in R, x \neq 1$), 那么它的反函数为（　　）

10. 从 $4$ 台甲型和 $5$ 台乙型电视机中任意取出 $3$ 台, 其中至少要有甲型与乙型电视机各 $1$ 台, 则不同的取法共有（　　）

11. 设甲、乙、丙是三个命题, 如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件, 那么（　　）

12. $\lim\limits_{n\to\infty}[ (1-\frac{1}{2^{2}}) (1-\frac{1}{3^{2}}) (1-\frac{1}{4^{2}}) \dots (1+\frac{1}{n^{2}}) ]$ 的值等于（　　）

13. 如果 $AC < 0$ 且 $BC < 0$, 那么直线 $Ax+By+C=0$ 不通过（　　）

14. 如果奇函数 $f(x)$ 在区间 $[3,7]$ 上是增函数且最小值为 $5$, 那么 $f(x)$ 在区间 $[-7,-3]$ 上是（　　）

15. 圆 $x^{2}+2x+y^{2}+4y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有（　　）

16. 双曲线以直线 $x=-1$ 和 $y=2$ 为对称轴, 如果它的一个焦点在 $y$ 轴上, 那么它的另一个焦点的坐标是

17. 已知 $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$, 则 $\displaystyle \sin 2 (x-\frac{\pi}{2}) =$.

18. 不等式 $\lg(x^{2}+2x+2) < 1$ 的解集是

19. $(ax+1)^{7}$ 的展开式中, $x^{3}$ 的系数是 $x^{2}$ 的系数与 $x^{4}$ 的系数的等差中项. 若实数 $a > 1$, 那么 $a =$.

20. 在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, 已知顶点 $A$ 上三条棱长分别是 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$. 如果对角线 $AC_{1}$ 与过点 $A$ 的相邻三个面所成的角分别是 $\alpha, \beta, \gamma$, 那么 $\cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma =$.

21. 求函数 $y = \sin^{2} x + 2\sin x \cos x + 3\cos^{2} x$ 的最大值.

22. 已知复数 $z = 1+i$, 求复数 $\displaystyle \frac{z^{2}-3z+6}{z+1}$ 的模和辐角的主值.

23. 如图, 在三棱台 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, 已知 $AA_{1} \perp$ 底面 $ABC$, $A_{1}A = A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1} = a$, $B_{1}B \perp BC$, 且 $B_{1}B$ 和底面 $ABC$ 所成的角是 $45^{\circ}$, 求这个棱台的体积.

📐 [图：三棱台ABC-A1B1C1，A1A垂直底面ABC，B1B与底面ABC成45度角]

24. 设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列, $\displaystyle b_{n} = (\frac{1}{2})^{a_n}$, 已知: $\displaystyle b_{1}+b_{2}+b_{3} = \frac{7}{8}, b_{1}b_{2}b_{3} = \frac{1}{8}$, 求等差数列的通项 $a_{n}$.

25. 设 $a > 0, a \neq 1$, 解关于 $x$ 的不等式: $\displaystyle a^{x^2-2x}> (\frac{1}{a})^{x^2}$.

26. 已知椭圆的中心在坐标原点 $O$, 焦点在坐标轴上, 直线 $y=x+1$ 与该椭圆相交于 $P$ 和 $Q$, 且 $OP \perp OQ, |PQ| = 2\sqrt{10}$, 求椭圆的方程.