2001年京蒙皖文高考

1. 集合 $M = \{1,2,3,4,5\}$ 的子集个数是（　　）

2. 函数 $f(x) = a^{x}$ $(a > 0 \text{ 且 }a \ne 1)$ 对于任意的实数 $x, y$ 都有（　　）

3. $\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\complement_{2n}^{m}}{\complement_{2n+2}^{m+1}}$（　　）

4. 函数 $y = -\sqrt{1-x}$ $(x \le 1)$ 的反函数是（　　）

5. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{16}+ \frac{y^{2}}{4}= 1$ 的两焦点, 过点 $F_{2}$ 的直线交椭圆于点 $A, B$. 若 $|AB| = 5$, 则 $|AF_{1}|+|BF_{1}|=$（　　）

6. 设动点 $P$ 在直线 $x=1$ 上, $O$ 为坐标原点, 以 $OP$ 为直角边、点 $O$ 为直角顶点作等腰 $\text{Rt}\triangle OPQ$, 则动点 $Q$ 的轨迹是（　　）

7. 已知 $f(x) = \log_{2} x$, 那么 $f(8)$ 等于（　　）

8. 若 $A, B$ 是锐角 $\triangle ABC$ 的两个内角, 则点 $P(\cos B - \sin A, \sin B - \cos A)$ 在（　　）

9. 如果圆锥的侧面展开图是半圆, 那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是（　　）

10. 若实数 $a, b$ 满足 $a+b=2$, 则 $3^{a}+3^{b}$ 的最小值是（　　）

11. 如图是正方体的平面展开图, 在这个正方体中,

① $BM$ 与 $ED$ 平行;

② $CN$ 与 $BE$ 是异面直线;

③ $CN$ 与 $BM$ 成 $60^{\circ}$ 角;

④ $DM$ 与 $BN$ 垂直.

以上四个命题中, 正确命题的序号是（　　）

12. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的 $n$ 个月内累积的需求量 $S_{n}$ (万件)近似地满足 $S_{n} = (21n-n^{2}-5)$ $(n = 1, 2, \dots, 12)$. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过 $1.5$ 万件的月份是（　　）

13. 已知球内接正方体的表面积为 $S$, 那么球体积等于

14. 椭圆 $x^{2}+4y^{2}=4$ 长轴上一个顶点为 $A$, 以 $A$ 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形, 该三角形的面积是

15. 已知 $\sin^{2}\alpha + \sin^{2}\beta + \sin^{2}\gamma = 1$ ($\alpha, \beta, \gamma$ 均为锐角), 那么 $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ 的最大值等于

16. 已知 $m, n$ 是直线, $\alpha, \beta, \gamma$ 是平面, 给出下列命题:

①若 $\alpha \perp \beta$, $\alpha \cap \beta = m$, $n \perp m$, 则 $n \perp \alpha$ 或 $n \perp \beta$;

② 若 $\alpha \text{ // }\beta$, $\alpha \cap \gamma = m$, $\beta \cap \gamma = n$, 则 $m \text{ // }n$;

③ 若 $m$ 不垂直于 $\alpha$, 则 $m$ 不可能垂直于 $\alpha$ 内的无数条直线;

④ 若 $\alpha \cap \beta = m$, $n \text{ // }m$, 且 $n \not\subset \alpha$, $n \not\subset \beta$, 则 $n \text{ // }\alpha$ 且 $n \text{ // }\beta$.

其中正确的命题的序号是________ (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

17. 方程 $2x^{2} + mx + n = 0$ 有实根, 且 $2, m, n$ 为等差数列的前三项. 求该等差数列公差 $d$ 的取值范围.

18. 设函数 $\displaystyle f(x) = \frac{x+a}{x+b}$ $(a > b > 0)$, 求 $f(x)$ 的单调区间, 并证明 $f(x)$ 在其单调区间上的单调性.

19. 已知 $z^{7} = 1$ ($z \in \mathbb{C}$ 且 $z \ne 1$).

(1) 证明 $1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+z^{6} = 0$;

(2) 设 $z$ 的辐角为 $\alpha$, 求 $\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 4\alpha$ 的值.

20. 已知 $VC$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面的一条斜线, 点 $N$ 是 $V$ 在平面 $ABC$ 上的射影, 且在 $\triangle ABC$ 的高 $CD$ 上. $AB=a$, $VC$ 与 $AB$ 之间的距离为 $h$, 点 $M \in VC$.

(1) 证明 $\angle MDC$ 是二面角 $M-AB-C$ 的平面角;

(2) 当 $\angle MDC = \angle CVN$ 时, 证明 $VC \perp$ 平面 $AMB$;

(3) 若 $\angle MDC = \angle CVN = \theta$ $\displaystyle (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$, 求四面体 $MABC$ 的体积.

21. 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 $1$ 万元/辆, 出厂价为 $1.2$ 万元/辆, 年销售量为 $1000$ 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本, 若每辆车投入成本增加的比例为 $x$ $(0 < x < 1)$, 则出厂价相应提高的比例为 $0.75x$, 同时预计年销售量增加的比例为 $0.6x$. 已知年利润 $= (\text{出厂价}- \text{投入成本}) \times \text{年销售量}$.

(1) 写出本年度预计的年利润 $y$ 与投入成本增加的比例 $x$ 的关系式;

(2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 $x$ 应在什么范围内?

22. 已知抛物线 $y^{2} = 2px$ $(p>0)$. 过动点 $M(a,0)$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与该抛物线交于不同的两点 $A, B$.

(1) 若 $|AB| \le 2p$, 求 $a$ 的取值范围;

(2) 若线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $Q$, 交 $x$ 轴于点 $N$, 试求 $\text{Rt}\triangle MNQ$ 的面积.