2002年大纲卷文

1. 直线 $(1+a)x+y+1=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-2x=0$ 相切,则 $a$ 的值为（　　）

2. 复数 $\displaystyle (\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{3}$ 的值是（　　）

3. 不等式 $(1+x)(1-x)>0$ 的解集是（　　）

4. 函数 $y = a^{x}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值与最小值这和为 $3$, 则 $a =$（　　）

5. 在 $(0,2\pi)$ 内,使 $\sin x > \cos x$ 成立的 $x$ 的取值范围是（　　）

6. 设集合 $\displaystyle M = \{x|x=\frac{\pi}{4}+\frac{k}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\}$, $\displaystyle N = \{x|x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$,则（　　）

7. 椭圆 $5x^{2} + ky^{2} = 5$ 的一个焦点是 $(0,2)$, 那么 $k =$（　　）

8. 一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等, 那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（　　）

9. 已知 $0<x<y<a <1$,则有（　　）

10. 函数 $y= x^{2} + bx + c, x \in [0,+\infty)$ 是单调函数的充要条件是（　　）

11. 设 $\displaystyle \theta \in (0, \frac{\pi}{2})$,则二次曲线 $x^{2} \cot \theta - y^{2} \tan \theta = 1$ 的离心率的取值范围为（　　）

12. 从正方体的 $6$ 个面中选取 $3$ 个面,其中有 $2$ 个面不相邻的选法共有（　　）

13. 据新华社 $2002$ 年 $3$ 月 $12$ 日电,$1985$ 年到 $2000$ 年间,我国农村人均居住面积如图所示,其中,从 __________ 年的五年间增长最快.

14. 函数 $\displaystyle y=\frac{2x}{1+x^{2}}$, $x \in (-1, +\infty)$ 图象与其反函数图象的交点为 __________.

15. $(x^{2} + 1)(x - 2)^{n}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数是 __________.

16. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:

①焦点在 $y$ 轴上;

②焦点在 $x$ 轴上;

③抛物线上横坐标为 $1$ 的点到焦点的距离等于 $6$;

④抛物线的通径的长为 $5$;

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为 $(2,1)$.

能使这抛物线方程为 $y^{2} = 10x$ 的条件是 __________ (要求填写合适条件的序号)

17. 如图,某地一天从 $6$ 时至 $14$ 时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A \sin(x + \varphi) + b$.

(1) 求这段时间的最大温差;

(2) 写出这段时间的函数解析式.

18. 甲、乙物体分别从相距 $70$ 米的两处同时相向运动.甲第 $1$ 分钟走 $2$ 米,以后每分钟比前 $1$ 分钟多走 $1$ 米,乙每分钟走 $5$ 米.

(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇?

(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 $1$ 分钟多走 $1$ 米,乙继续每分钟走 $5$ 米,那么开始运动几分钟后第二相遇?

19. 四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是边长为 $a$ 的正方形,$PB \perp$ 平面 $ABCD$.

(1) 若面 $PAD$ 与面 $ABCD$ 所成的二面角为 $60^{\circ}$,求这个四棱锥的体积;

(2) 证明无论四棱锥的高怎样变化,面 $PAD$ 与面 $PCD$ 所成的二面角恒大于 $90^{\circ}$.

20. 设函数 $f(x) = x^{2} + |x-2|- 1, x \in \mathbb{R}$.

(1) 判断 $f(x)$ 的奇偶性;

(2) 求函数 $f(x)$ 的最小值.

21. 已知点 $P$ 到两定点 $M(-1,0)$、$N(1,0)$ 距离的比为 $\sqrt{2}$,点 $N$ 到直线 $PM$ 的距离为 $1$,求直线 $PN$ 的方程.

22.

(1) 给出两块相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;

(2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;

(3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.