1987年全国卷文科数学

1. 设 $S, T$ 是两个非空集合,且 $S \cap T \neq \emptyset, T \not\subset S$, 令 $X = S \cap T$, 那么 $S \cup X$ 等于（　　）

2. 设椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$ ($a > b > 0$), 令 $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}$, 那么它的准线方程为（　　）

3. 设 $\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 8 \cdot \log_{8} m = \log_{4} 16$, 那么 $m$ 等于（　　）

4. 复数 $\sin 40^{\circ} - i\cos 40^{\circ}$ 的辐角为（　　）

5. 二次函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示, 那么此函数为

📐 [图：抛物线开口向上，顶点为(0,3)，与x轴交于(-2,0)和(2,0)]（　　）

6. 在区间 $(-\infty, 0)$ 上为增函数的是（　　）

7. 已知平面上一点 $P$ 在原坐标系中的坐标为 $(0,m)$ $(m \neq 0)$, 而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为 $(m,0)$, 那么新坐标系的原点 $O'$ 在原坐标系中的坐标为（　　）

8. 要得到函数 $\displaystyle y = \sin (2x - \frac{\pi}{3})$ 的图象, 只需将函数 $y = \sin 2x$ 的图象 (如图)（　　）

9. 求函数 $y = \sin^{2} 2x$ 的周期.

📐 [图：函数 $y = \sin x$ 的图像，周期为 $\pi$]

10. 已知方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2+\lambda}+ \frac{y^{2}}{1-\lambda}= 1$ 表示双曲线, 求 $\lambda$ 的范围.

11. 若 $(1+x)^{n}$ 的展开式中, $x^{3}$ 的系数等于 $x^{2}$ 的系数的 $7$ 倍, 求 $n$.

12. 求极限: $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}(1 + 2 + 3 + \dots + n)$.

13. 由数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字且数字 $1$ 与 $2$ 不相邻的五位数, 求这种五位数的个数.

14. 求函数 $y = \log_{2}(1+2x-3x^{2})$ 的定义域.

15. 圆锥底面积为 $3$, 母线与底面所的成角为 $60^{\circ}$, 求它的体积.

16. 发电厂发出的电是三相交流电, 它的三根导线上的电流强度分别是时间 $t$ 的函数: $I_{A} = I_{m} \sin\omega t$, $I_{B} = I_{m} \sin(\omega t + 120^{\circ})$, $I_{C} = I_{m} \sin(\omega t+240^{\circ})$, 求 $I_{A}+I_{B}+I_{C}$ 的值.

17. 在复平面内, 已知等边三角形的两个顶点表示的复数分别为 $2$, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+ i\frac{1}{2}$, 求第三个顶点表示的复数.

18. 如图, 三棱锥 $P-ABC$ 中, 已知 $PA \perp BC, PA = BC = L$, $PA, BC$ 的公垂线 $ED = h$. 求证: 三棱锥 $P-ABC$ 的体积 $\displaystyle V = \frac{1}{6}L^{2} h$.

📐 [图：三棱锥P-ABC，E在PA上，D在BC上，ED为PA和BC的公垂线]

19. 设对所有实数 $x$, 不等式 $x^{2} \log_{2} \frac{4(a+1)}{a}+ 2x\log_{2} \frac{a+1}{4a^{2}}+ \log_{2} \frac{(a+1)^{2}}{4a^{2}}> 0$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.

20. 设复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 满足关系式 $z_{1} z_{2} + \bar{A}z_{1} + A z_{2} = 0$, 其中 $A$ 为不等于 $0$ 的复数. 证明:

(1) $|z_{1} + A| |z_{2} + \bar{A}| = |A|^{2}$;

(2) $\displaystyle \frac{z_{1} + \bar{A}}{z_{2} + A}= \frac{\bar{z_1} + A}{\bar{z_2} + \bar{A}}$

21. 设数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 与 $a_{n}$ 满足 $S_{n} = ka_{n}+1$ (其中 $k$ 是与 $n$ 无关的常数, 且 $k \neq 1$).

(1) 试写出用 $n, k$ 表示的 $a_{n}$ 的表达式;

(2) 若 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n} = 1$, 求 $k$ 的取值范围.

22. 正方形 $ABCD$ 在直角坐标平面内, 已知其一条边 $AB$ 在直线 $y = x+4$ 上, $C, D$ 在抛物线 $x = y^{2}$ 上, 求正方形 $ABCD$ 的面积.