1990年上海卷文科数学

1. 函数 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{x+4}}{x+2}$ 的定义域是

2. 函数 $y = \arcsin x$, ($x \in [-1,1]$) 的反函数是.

3. 过点 $(1,2)$ 且与直线 $2x+y-1=0$ 平行的直线方程是

4. 已知圆柱的轴截面是正方形, 它的面积是 $4$ cm$^{2}$, 那么这个圆柱的体积是______cm$^{3}$. (结果中保留 $\pi$)

5. 在 $\triangle ABC$ 中, 已知 $\displaystyle \cos A = -\frac{3}{5}$, 则 $\sin A =$.

6. 设复数 $\displaystyle \omega = \cos\frac{2\pi}{5}+ i\sin\frac{2\pi}{5}$, 则 $\omega+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{5}$ 的值是

7. 已知圆锥的中截面周长为 $a$, 母线长为 $l$, 则它的侧面积等于.

8. 已知 $(x+a)^{7}$ 的展开式中, $x^{4}$ 的系数是 $-280$, 则实数 $a =$.

9. 双曲线 $2mx^{2} - my^{2} = 2$ 的一条准线是 $y=1$, 则 $m =$.

10. 平面上, 四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直, 则它的矩形共有______个 (结果用数值表示).

11. 圆的半径是 $1$, 圆心的极坐标是 $(1,0)$, 则这个圆的极坐标方程是（　　）

12. 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的定义域均为 $R$, “$f(x), g(x)$ 都是奇函数”是“$f(x)$ 与 $g(x)$ 的积是偶函数”的（　　）

13. 设点 $P$ 在有向线段 $AB$ 的延长线上, $P$ 分 $AB$ 所成的比为 $\lambda$, 则（　　）

14. 设 $a=2^{3}, b=2^{6}, c=2^{12}$, 则数列 $a,b,c$（　　）

15. 设 $\alpha$ 角属于第二象限, 且 $\displaystyle |\cos\frac{\alpha}{2}| = -\cos\frac{\alpha}{2}$, 则角 $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ 属于（　　）

16. 设过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是 $a, b, c$, 那么这个长方体的对角线长是（　　）

17. 函数 $\displaystyle f(x) = a\tan\frac{x}{a}$ 的最小正周期是（　　）

18. 已知 $1 < x < a$, 令 $a = (\log_{a} x)^{2}$, $b = \log_{a} (x^{2})$, $c = \log_{a} (\log_{a} x)$, 则（　　）

19. 设 $a, b$ 是两条异面直线, 那么下列四个命题中的假命题是（　　）

20. 下列四个函数中, 在定义域内不具有单调性的函数是（　　）

21. 已知 $\log_{5} (x^{2}+2x-2) = 0$, $\displaystyle 2\log_{5} (x+2) - \log_{5} y + \frac{1}{2}= 0$, 求 $y$ 的值.

22. 求方程 $\sqrt{5}\cos x + \cos 2x + \sin x = 0$ 在 $[0, 2\pi)$ 上的解.

23. 已知点 $P$ 直线 $x=2$ 上移动, 直线 $l$ 通过原点且与 $OP$ 垂直, 通过点 $A(1,0)$ 及点 $P$ 的直线 $m$ 和直线 $l$ 交于点 $Q$. 求点 $Q$ 的轨迹方程, 并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.

24. 已知直线 $l: x-ny=0$, ($n \in N$); 圆 $M: (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=1$; 抛物线 $\Phi: y=(x-1)^{2}$. 又 $L$ 与 $M$ 交于点 $A, B$; $L$ 与 $\Phi$ 交于点 $C, D$. 求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}\frac{|AB|^{2}}{|CD|^{2}}$.

25. 关于实数 $x$ 的不等式 $\displaystyle -\frac{(a+1)^{2}}{2}x^{2} + \frac{(a-1)^{2}}{2}\ge 0$ 与 $x^{2}-3(a+1)x+2(3a+1) \le 0$ (其中 $a \in R$) 的解集依次记为 $A$ 与 $B$. 求使 $A \subseteq B$ 的 $a$ 的取值范围.

26. 如图, 平面 $\alpha, \beta$ 相交于直线 $MN$, 点 $A$ 在平面 $\alpha$ 上, 点 $B$ 在平面 $\beta$ 上, 点 $C$ 在直线 $MN$ 上, $\angle ACM = \angle BCN = 45^{\circ}, A-MN-B$ 是 $60^{\circ}$ 的二面角, $AC = 1$. 求:

(1) 点 $A$ 到平面 $\beta$ 的距离;

(2) 二面角 $A-BC-M$ 的大小 (用反三角函数表示).

📐 [图：平面 $\alpha, \beta$ 相交于MN，A在 $\alpha$，B在 $\beta$，C在MN]