1989年全国卷理科数学

1. 如果 $I = \{a, b, c, d, e\}$, $M = \{a, c, d\}$, $N = \{b, d, e\}$, 其中 $I$ 是全集, 那么 $M \cap N$ 等于（　　）

2. 与函数 $y = x$ 有相同图象的一个函数是（　　）

3. 如果圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$, 高为 $2$, 那么它的侧面积是（　　）

4. $\displaystyle \cos[\arcsin(-\frac{1}{5}) - \arccos(-\frac{3}{5})]$ 的值等于（　　）

5. 已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列, 如果 $a_{1}+a_{2}+a_{3} = 18$, $a_{2}+a_{3}+a_{4} = -9$, 且 $S_{n} = a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}$, 那么 $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}$ 的值等于（　　）

6. 如果 $\displaystyle |\cos\frac{\theta}{2}| = \frac{\sqrt{10}}{5}$, $\displaystyle \frac{\pi}{2}< \theta < 3\pi$, 那么 $\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}$ 的值等于（　　）

7. 设复数 $z$ 满足关系式 $\displaystyle z+\frac{2}{z}=2+i$, 那么 $z^{4}$ 等于（　　）

8. 已知球的两个平行截面的面积分别为 $5\pi$ 和 $8\pi$, 它们位于球心的同一侧, 且相距为 $1$, 那么这个球的半径是（　　）

9. 已知椭圆的极坐标方程是 $\displaystyle \rho = \frac{10}{5-3\cos\theta}$, 那么它的短轴长是（　　）

10. 如果双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{64}- \frac{y^{2}}{36}= 1$ 上一点 $P$ 到它的右焦点的距离是 $8$, 那么点 $P$ 到它的右准线的距离是（　　）

11. 已知 $f(x) = 8+2x-x^{2}$, 如果 $g(x) = f(2-x^{2})$, 那么 $g(x)$（　　）

12. 由数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 $50000$ 的偶数共有（　　）

13. 方程 $\sin x - \sqrt{3}\cos x = \sqrt{2}$ 的解集是

14. 不等式 $|x^{2}-3x| > 4$ 的解集是.

15. 函数 $\displaystyle y = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$ 的反函数的定义域是.

16. 已知 $(1-2x)^{7} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots+a_{7}x^{7}$, 那么 $a_{1}+a_{2}+\dots+a_{7} =$.

17. 已知 $A$ 和 $B$ 是两个命题, 如果 $A$ 是 $B$ 的充分条件, 那么 $B$ 是 $A$ 的______条件; $A$ 是 $B$ 的______条件.

18. 如图, 已知圆柱的底面半径是 $3$, 高是 $4$, $A, B$ 两点分别在两底面的圆周上, 并且 $AB=5$, 那么直线 $AB$ 与轴 $OO'$ 之间的距离等于______.

📐 [图：圆柱，A、B在不同底面的圆周上，AB=5]

19. 证明: $\displaystyle \tan\frac{3x}{2}- \tan\frac{x}{2}= \frac{2\sin x}{\cos x + \cos 2x}$.

20. 如图, 在平行六面体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, 已知 $\displaystyle AB = 5, AD = 4, AA_{1} = 3, AB \perp AD, \angle A_{1}AB = \angle A_{1}AD = \frac{\pi}{3}$.

(1) 求证: 顶点 $A_{1}$ 在底面 $ABCD$ 的射影在 $\angle BAD$ 的平分线上;

(2) 求这个平行六面体的体积.

📐 [图：平行六面体ABCD-A1B1C1D1]

21. 自点 $A(-3,3)$ 发出的光线 $L$ 射到 $x$ 轴上, 被 $x$ 轴反射, 其反射光线所在直线与圆 $x^{2}+y^{2}-4x-4y+7=0$ 相切, 求光线 $L$ 所在直线的方程.

22. 已知 $a > 0, a \neq 1$, 试求使方程 $\log_{a} (x-ak) = \log_{a^2}(x^{2}-a^{2})$ 有解的 $k$ 的取值范围.

23. 是否存在常数 $a, b, c$ 使得等式 $\displaystyle 1\cdot 2^{2} + 2\cdot 3^{2} + \dots + n(n+1)^{2} = \frac{n(n+1)}{12}(an^{2}+bn+c)$ 对一切自然数 $n$ 都成立? 并证明你的结论.

24. 设 $f(x)$ 是定义在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上以 $2$ 为周期的函数, 对 $k\in Z$, 用 $I_{k}$ 表示区间 $(2k-1, 2k+1]$. 已知当 $x\in I_{0}$ 时, $f(x) = x^{2}$.

(1) 求 $f(x)$ 在 $I_{k}$ 上的解析表达式;

(2) 对自然数 $k$, 求集合 $M_{k} = \{a \mid \text{使方程 }f(x) = ax \text{ 在 }I_{k} \text{ 上有两个不等的实根 }\}$.